Brontekst bekijken van Magma (wiskunde)

{{Zijbalk algebraïsche structuren}}
In de [[abstracte algebra]] is een '''magma''' (ook '''groepoïde''' genoemd, niet te verwarren met [[groepoïde (categorietheorie)|groepoïde]] in  de categorietheorie) een basale [[algebraïsche structuur]]. Specifiek bestaat een magma uit een niet-[[Lege verzameling|lege]] [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] die is uitgerust met een enkele [[binaire operatie]], <math>*:M\times M \to M</math>, waaraan geen verdere eisen worden gesteld. De enige structuur in <math>M</math> is dus de binaire operatie <math>*</math>, die aan twee elementen <math>a</math> en <math>b</math> in <math>M</math> het element <math>a*b\in M</math> toevoegt. Magma's als zodanig worden niet (veel) bestudeerd, maar gelden vanwege de aanwezige bewerking, als basisstructuren voor rijkere structuren in de abstracte algebra. De term magma werd geïntroduceerd door [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]].

Een ''magma'' noteert men als het paar <math>(M,*)</math>, waarin <math>M</math> de verzameling is en <math>*</math> de binaire bewerking.

Het aantal elementen van een magma wordt de ''orde'' van de magma genoemd en genoteerd als <math>|M|</math> of <math>\#M</math>.

Eindige magma's kan men volledig voorstellen in een zogenaamde [[Cayley-tabel]], die de resultaten van de bewerking opsomt. <!--''Dit lijkt me niet juist:'' Twee magma's zijn identiek ("[[isomorfisme|isomorf]]") als er een [[Afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] bestaat die de ene magma afbeeldt op de andere.-->

== Types magma's ==
Magma's worden niet vaak als zodanig bestudeerd; er zijn verschillende soorten magma's, afhankelijk van welke axioma's men oplegt aan de [[operatie (wiskunde)|operatie]]s.
Vaak bestudeerde soorten magma's zijn
* [[Quasigroep]]en: [[Lege verzameling|niet-lege]] magma's, waarbij [[delen]] altijd mogelijk is;
* [[Lus (algebra)|Lussen]]: quasigroepen met [[neutraal element|identiteitselement]]en;
* [[Halfgroep]]en: magma's waarvan de operatie [[associativiteit|associatief]] is;
* [[Monoïde]]n: halfgroepen met [[Neutraal element|identiteitselementen]];
* [[Groep (wiskunde)|Groepen]]: monoïden met [[inverse element]]en, of gelijkwaardig, associatieve lussen of associatieve quasigroepen;
* [[Abelse groep]]en, waarvan de operatie [[commutativiteit|commutatief]] is.

== Enkele voorbeelden ==
* De [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] met de optelling, genoteerd als <math>(\N,\ +)</math>, vormen een magma.
* De [[geheel getal|gehele getallen]] met de aftrekking, genoteerd als <math>(\Z,\ -)</math>, vormen een magma.
* De [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] met de aftrekking, genoteerd als <math>(\N,\ -)</math> zijn géén magma, want voor bijvoorbeeld <math>a=4,b=8</math> is <math>a-b=4-8 \notin \N</math>, dus is het verschil niet voor alle elementen gedefinieerd binnen <math>\N</math>.

== Morfisme van magma's ==
Een [[morfisme]] van magma's is een functie <math>f\colon M\to N</math> die het magma <math>M</math> afbeeldt op het magma <math>N</math> en die de binaire operatie:
:<math>f(x *_{_M} y) = f(x) *_{_N} f(y)</math>

in stand houdt, waarin <math>*_{_M}</math> en <math>*_{_N}</math> de binaire operaties op respectievelijk <math>M</math> en <math>N</math> aanduiden.

==Vrij magma==
Voor elke niet-lege verzameling <math>X</math> kan men het ''vrije magma'' over <math>X</math> definiëren als het "meest algemene" magma dat door <math>X</math> wordt voortgebracht. Het kan beschreven worden als het magma van alle eindige [[Boom_(datastructuur)|bomen]] met de bladeren in <math>X</math>. De compositie <math>a*b</math> van twee bomen <math>a</math> en <math>b</math> is de boom waarvan de wortel <math>a</math> als linker onderboom en <math>b</math> als rechter onderboom heeft. Men kan elk element van het vrije magma noteren als uitdrukking in de elementen van <math>X</math> en haakjes. Zo bevat bijvoorbeeld voor <math>X=\{a,b,c\}</math>  het vrije magma over <math>X</math> onder meer de elementen:
:<math>a,b,c,ab,ba,(ab)c,a(bc),(aa)(bb),(a(ab))b,(ab)(ab),</math> enz.

[[Categorie:Groepentheorie]]
[[Categorie:Wiskundige structuur]]