Mandelbrotverzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Mandelbrotverzameling.
De mandelbrotverzameling in het complexe vlak
De baan van het getal -2
-2 blijkt een gebonden rij op te leveren.
Door kleuren aan te brengen die overeenkomen met de snelheid waarmee de rij divergeert ontstaat een kleurrijk figuur.
detail

De mandelbrotverzameling is een fractal die een belangrijke rol speelt in de chaostheorie. De verzameling is genoemd naar Benoît Mandelbrot, een Pools-Franse wiskundige die de fractal in 1980 voor het eerst met de behulp van een computer onderzocht. De verzameling werd echter al in 1905 onderzocht door Pierre Fatou, een Franse wiskundige die zich specialiseerde in de studie van recursieve vergelijkingen.

Buiten de chaostheorie staat de mandelbrotverzameling vooral bekend om zijn esthetische eigenschappen en is daarom vaak het onderwerp van recreatieve wiskunde en inleidende cursussen in fractals.

De mandelbulb komt met de mandelbrotverzameling voor drie dimensies overeen.

Uitleg[bewerken]

De mandelbrotverzameling is een verzameling van complexe getallen en ontstaat door herhaaldelijk op de complexe getallen een bepaalde wiskundige bewerking uit te voeren. Deze verzameling wordt dus aan de hand van een differentievergelijking bepaald. In de bewerking wordt eerst het kwadraat genomen van een complex getal, waarna het oorspronkelijke getal hierbij wordt opgeteld.

Deze bewerking wordt telkens herhaald: de uitkomst wordt gekwadrateerd, daarna wordt het oorspronkelijke getal erbij opgeteld.

Wanneer deze bewerking voor alle complexe getallen voortdurend herhaald wordt, blijken er twee soorten complexe getallen te zijn. Veel complexe getallen leveren tijdens deze bewerking een rij op die ongebonden is: de uitkomsten worden steeds groter naarmate de bewerking vaker herhaald wordt. Dit is onder meer het geval bij het bovenstaande voorbeeld van het getal 2 + 0,5i. Andere complexe getallen leveren echter een gebonden rij op.

De mandelbrotverzameling bestaat uit alle getallen die bij bovenstaande bewerking een gebonden rij blijken op te leveren. Hoe vaak de bewerking ook wordt herhaald, de uitkomsten blijven binnen bepaalde waarden. De gehele mandelbrotverzameling valt binnen de cirkel met straal 2 en het middelpunt in de oorsprong. De getallen die leiden tot een ongebonden rij kunnen nog binnen deze cirkel liggen, maar vallen allemaal per definitie buiten de mandelbrotverzameling.

Een differentievergelijking in één complexe variabele komt overeen met twee differentievergelijkingen in twee reële variabelen.

Een punt dat tijdens het herhalen van de bewerkingen na verloop van tijd telkens opnieuw uitkomt bij dezelfde waarde(n) wordt overigens een Misiurewicz-punt genoemd. De enige voorbeelden hier zijn -2, 0 en 2, zie de figuur.

Kleurgebruik[bewerken]

In afbeeldingen wordt de mandelbrotverzameling vaak met een zwarte kleur weergegeven, en de getallen die buiten de verzameling vallen met een andere kleur. Vaak wordt een groot aantal kleuren gebruikt, die geleidelijk in elkaar overgaan. Meestal worden de kleuren zo gekozen dat zij een indicatie zijn van het aantal iteraties dat nodig is voordat een ongebonden rij een waarde oplevert die buiten de cirkel valt waarbinnen zich de mandelbrotverzameling bevindt. Wanneer ingezoomd wordt op de randen van de afbeelding van de mandelbrotverzameling, worden al gauw locaties zichtbaar met punten die honderden iteraties behoeven, voordat vastgesteld is dat ze ongebonden zijn. Wanneer er bijvoorbeeld 256 kleuren gebruikt worden, beginnend met een donkerblauwe kleur (voor de punten die meteen buiten de cirkel liggen), dan wordt die donkerblauwe kleur na 256 en na 512 iteraties opnieuw gebruikt (voor punten die na 256 of na 512 iteraties buiten de cirkel komen te liggen).

Wiskundige beschrijving[bewerken]

De mandelbrotverzameling wordt formeel gedefinieerd met behulp van de klasse complexe tweedegraadspolynomen:

.

De verzameling bestaat uit de punten c in het complexe vlak, waarvoor de rij

niet wegloopt naar oneindig.

Men onderzoekt de mandelbrotverzameling met behulp van de recursieve relatie:

De rij kan als volgt worden uitgeschreven:

enz.

Gesplitst in het reële- en imaginaire deel, respectievelijk de x- en y-coördinaten van het complexe vlak, met:

wordt dit:

en

Beschrijving van de fractal[bewerken]

De mandelbrotverzameling is een samenhangende verzameling en kan worden verdeeld in een oneindige verzameling van figuren: de grootste figuur in het centrum is een cardioïde. Er is een aftelbaar oneindig aantal bijna-cirkels, waarvan de diameter asymptotisch naar nul nadert. De enige volledige cirkel bevindt zich direct links van de cardioïde. Elk van de bijna-cirkels heeft op zijn beurt een eigen aftelbaar oneindig aantal kleinere cirkels om zich heen, die zich vanuit de cirkel vertakken. Deze vertakking zet zich oneindig voort, en aldus vormt zich een fractal.

Alle punten binnen deze fractal zijn aangrenzende punten, dit is een bewezen gegeven. Deze fractal is dus samenhangend ofwel gesloten, net als de juliafractals waaruit het object is opgebouwd.

Voorbeelden[bewerken]

Ingezoomd op een deel van de mandelbrotverzameling
Ingezoomd op een deel van de mandelbrotverzameling