Matrixvermenigvuldiging

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Matrixproduct)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de lineaire algebra is matrixvermenigvuldiging een bewerking tussen twee matrices die als resultaat een nieuwe matrix, aangeduid als het (matrix)product van die twee, oplevert. Vatten we de beide matrices op als lineaire afbeeldingen, dan is het matrixproduct de lineaire afbeelding die hoort bij de samenstelling van de beide lineaire afbeeldingen.

Definitie[bewerken]

Matrixvermenigvuldiging van een matrix met een matrix is alleen mogelijk als het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix. Stel daarom dat een -matrix is en een -matrix. Het matrixproduct is dan een -matrix gegeven door:

voor elk paar en Hier staat voor het element op positie in het matrixproduct

De volgende figuur maakt duidelijk hoe men het element van bepaalt, als een 4x2-matrix is en een 2×3-matrix. Elk paar op de weg van de pijl wordt vermenigvuldigd en de producten worden bij elkaar opgeteld. De positie van het resulterende getal in correspondeert met de rij en kolom die werd beschouwd.

Matrix multiplication diagram.PNG

Een uitgewerkt voorbeeld van matrixvermenigvuldiging is het volgende:

Lineaire afbeelding[bewerken]

Een matrix kan worden opgevat als lineaire afbeelding. Het matrixproduct van twee matrices is dan de samenstelling van beide afbeeldingen.

Zo beeldt in de onderstaande berekening de genoemde matrix de vector af op:

De matrix in onderstaande berekening beeldt de vector af op:

.

Aan het beeld van onder de eerste matrix voegt de tweede dus toe:

Dit is juist het beeld van de vector onder het product van de twee matrices:

Basiseigenschappen[bewerken]

Matrixvermenigvuldiging heeft de volgende eigenschappen:

  • (associativiteit)
  • (distributiviteit links)
  • (distributiviteit rechts)
  • voor elk getal
  • , waarin de eenheidsmatrix voorstelt.
  • , waarin staat voor de getransponeerde matrix.

Matrixvermenigvuldiging is in het algemeen niet commutatief, d.w.z. in het algemeen zijn en niet aan elkaar gelijk.

Als , heten de matrices anticommuterend.

Structuureigenschappen van vierkante matrices[bewerken]

Wanneer het aantal rijen en het aantal kolommen in een matrix hetzelfde is, heet die matrix vierkant. Als we ons beperken tot vierkante matrices van gelijke afmeting met elementen in een algebraïsch getallenlichaam (Nederlands) of getallenveld (Belgisch) dan vormen deze een associatieve algebra.

Niet elke vierkante matrix heeft een invers element voor de vermenigvuldiging. Een matrix is inverteerbaar of omkeerbaar dan en slechts dan als de determinant van die matrix ongelijk is aan nul. De omkeerbare matrices van gelijke afmeting vormen een groep voor de matrixvermenigvuldiging: de lineaire groep.

Formele matrixvermenigvuldiging[bewerken]

Soms wordt de formule voor matrixvermenigvuldiging van een matrix met een matrix toegepast als de elementen van de matrices niet allemaal elementen van een lichaam/veld zijn. Dat kan als de betrokken vermenigvuldigingen en optellingen gedefinieerd zijn, dus bijvoorbeeld als de elementen van gewoon de elementen van een lichaam/veld zijn, maar de vectoren zijn uit een vectorruimte over hetzelfde lichaam/veld. Hierbij wordt dus een gewone matrix vermenivuldigd met een kolomvector waarvan ieder element een vector uit is. Het resultaat is ook weer een kolomvector waarvan ieder element een vector uit is. Zie bijvoorbeeld Basistransformatie.

Er geldt met en gewone matrices nog steeds

  • ,

dus als A inverteerbaar is ook

Verder:

waarbij een vector maal een scalar wordt gedefinieerd als de scalar maal de vector.

Zie ook[bewerken]