Matrixvermenigvuldiging

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is matrixvermenigvuldiging een bewerking tussen twee matrices die als resultaat een nieuwe matrix, aangeduid als het (matrix)product van die twee, oplevert. Vatten we de beide matrices op als lineaire afbeeldingen, dan is het matrixproduct de lineaire afbeelding die hoort bij de samenstelling van de beide lineaire afbeeldingen.

Definitie[bewerken]

Matrixvermenigvuldiging van een matrix A met een matrix B is alleen mogelijk als het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix. Stel daarom dat A een m×n-matrix is en B een n×p-matrix. Het matrixproduct AB is dan een m×p-matrix gegeven door:

 (AB)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.

voor elk paar i en j. Hier staat (AB)ij voor het element op positie (i, j) in het matrixproduct AB

De volgende figuur maakt duidelijk hoe men het element (AB)12 van AB bepaalt als A een 4x2-matrix is en B een 2×3-matrix. Elk paar op de weg van de pijl wordt vermenigvuldigd en de producten worden bij elkaar opgeteld. De positie van het resulterende getal in AB correspondeert met de rij en kolom die werd beschouwd.

Matrix multiplication diagram.PNG
(A B)_{12} = \sum_{r=1}^2 a_{1r}b_{r2} = a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}.

Een uitgewerkt voorbeeld van matrixvermenigvuldiging is het volgende:


\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
4 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & -4 & 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1\times1+2\times3 & 1\times2+2\times(-4) & 1\times3+2\times7  \\
4\times1+3\times3 & 4\times2+3\times(-4) & 4\times3+3\times7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
7 & -6 & 17 \\
13 & -4 & 33
\end{bmatrix}.

Lineaire afbeelding[bewerken]

Een matrix kan worden opgevat als lineaire afbeelding. Het matrixproduct van twee matrices is dan de samenstelling van beide afbeeldingen.

Zo beeldt in de onderstaande berekening de genoemde matrix de vector (x,y,z) af op:


\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & -4 & 7
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x  \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x+2y+3z \\ 3x-4y+7z \end{bmatrix}

De matrix in onderstaande berekening beeldt de vector (a,b) af op:


\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
4 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a  \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+2b \\ 4a+3b \end{bmatrix}.

Aan het beeld van (x,y,z) onder de eerste matrix voegt de tweede dus toe:


\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
4 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x+2y+3z \\ 3x-4y+7z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x+2y+3z)+2(3x-4y+7z) \\ 4(x+2y+3z)+3(3x-4y+7z) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7x-6y+17z \\ 13x-4y+33z \end{bmatrix}.

Dit is juist het beeld van de vector (x,y,z) onder het product van de twee matrices:


\begin{bmatrix}
7 & -6 & 17 \\
13 & -4 & 33
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x  \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7x-6y+17z \\ 13x-4y+33z \end{bmatrix}

Basiseigenschappen[bewerken]

Matrixvermenigvuldiging heeft de volgende eigenschappen:

Structuureigenschappen van vierkante matrices[bewerken]

Wanneer het aantal rijen en het aantal kolommen in een matrix hetzelfde is, heet die matrix vierkant. Als we ons beperken tot vierkante matrices van gelijke afmeting met elementen in een algebraïsch getallenlichaam (Nederlands) of getallenveld (Belgisch) K , dan vormen deze een associatieve algebra.

Niet elke vierkante matrix heeft een invers element voor de vermenigvuldiging. Een matrix is inverteerbaar of omkeerbaar dan en slechts dan als de determinant van die matrix ongelijk is aan nul. De omkeerbare matrices van gelijke afmeting vormen een groep voor de matrixvermenigvuldiging: de lineaire groep.

Zie ook[bewerken]