Maxwell-Boltzmann-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De Maxwell-Bolzmann-verdeling voor stikstof (N2) bij drie verschillende temperaturen.

De Maxwell-Boltzmann-verdeling of snelheidsverdelingswet van Maxwell-Boltzmann geeft de verdeling van de snelheden van gasmoleculen in een ideaal gas weer, wanneer de moleculen als puntvormig kunnen worden opgevat en zij volkomen elastisch botsen, zodat impuls en energie behouden blijven. Er vinden tevens geen simultane botsingen plaats van 3 of meer moleculen. De Maxwell-Boltzmann-verdeling vervult een centrale rol in toepassingen van de kinetische gastheorie.

De dichtheid f(v) van de snelheidsverdeling van de deeltjes wordt gegeven door:

.

Daarin is

  • m de massa van een deeltje van het gas in kg
  • k de Boltzmannconstante (1,38 × 10−23 J K-1)
  • v de snelheid van een deeltje in m s−1
  • T de temperatuur van het gas in K

De verdeling is genoemd naar James Clerk Maxwell, die haar als eerste in 1866 afleidde, en Ludwig Boltzmann, die het bewijs verscherpt heeft. De verdeling is een bijzonder geval van de algemene Boltzmann-verdeling.

Afleiding[bewerken]

In de stationaire toestand zijn de gasdeeltjes gelijkmatig verdeeld over het volume. De energie van een deeltje is zijn kinetische energie en omdat de totale energie E van het gas vastligt, is de snelheid van een deeltje begrensd. Alle mogelijke snelheden worden opgedeeld in een eindig aantal (m) klassen, waarbinnen de snelheid weinig varieert.

Voorwaarden[bewerken]

Elk van de N deeltjes valt wat zijn snelheid betreft binnen een van de m klassen. De aantallen in de klassen zijn . Er geldt dus:

.

Ook moet het totaal van de energie van de deeltjes gelijk zijn aan de totale energie E van het gas, dus:

.

Waarschijnlijkheidsdichtheden van realisaties[bewerken]

De verdeling van de deeltjes over de snelheidsklassen kan op meer manieren gerealiseerd worden. Zijn alle deeltjes in één klasse dan is er maar één manier, maar zijn ze op een na alle in één klasse dan zijn er al N mogelijke realisaties. Algemeen is het aantal realisaties bij de verdeling van deeltjes over de m klassen:

Hoe meer realisaties een verdeling heeft, hoe waarschijnlijker het is dat het gas zich in een realisatie van die verdeling bevindt, uitgaande van het belangrijkste postulaat van de statistische mechanica, nl. dat alle microtoestanden a priori gelijke waarschijnlijkheden hebben. De meest waarschijnlijke verdeling is dus de verdeling met het grootste aantal realisaties, zij het dat aan de genoemde voorwaarden moet zijn voldaan.

Optimalisatie[bewerken]

We bepalen onder deze voorwaarden de verdeling waarvoor het aantal realisaties A maximaal is. Om gemakkelijker te rekenen nemen we in plaats van het aantal realisaties A zelf de logaritme daarvan. Dit is toegestaan omdat de logaritme monotoon stijgend is. Met de multiplicatorenmethode van Lagrange krijgen we de vergelijking:

waarin a en b de multiplicatoren zijn.

Uitwerken levert:

Met behulp van de formule van Stirling benaderen we:

,

zodat voor de vergelijking resulteert:

,

met als oplossing:

.

Aangezien de energie in een klasse alleen de kinetische energie van een deeltje in die klasse is, geldt:

.

De snelheidsverdeling heeft dus de dichtheid:

.

Deze is alleen afhankelijk van de grootte van de snelheid.

Toestandsdichtheid[bewerken]

Voor de toestandsdichtheid als functie van de snelheid geldt in drie dimensies:

De uitdrukkingen voor de hypothetische toestandsdichtheid in 2 dimensies en 1 dimensie zijn (voor de volledigheid):

De waarschijnlijkheidsdichtheid in n dimensies wordt gegeven door:

.

Waarschijnlijkheidsdichtheid[bewerken]

Omdat de integraal van de waarschijnlijkheidsdichtheid in drie dimensies gelijk moet zijn aan 1, volgt voor de constante B:

.

De dichtheid wordt nu:

.

Voor een ideaal gas geldt voor de verwachte kinetische energie van een deeltje:

,

dus

.

We vinden dus:

en voor de waarschijnlijkheidsdichtheid in drie dimensies:

.

Compacte representatie[bewerken]

Waarschijnlijkheidsdichtheid van de Maxwell-Boltzmann-verdeling.
Cumulatieve waarschijnlijkheidsdichtheid van de Maxwell-Boltzmann-verdeling.

De waarschijnlijkheidsdichtheid van de Maxwell-Boltzmann-verdeling wordt in een compacte representatie gegeven door:

met x = v en:

De cumulatieve waarschijnlijkheidsdichtheidsverdeling is:

Verschillende snelheidsgemiddelden[bewerken]

De meest waarschijnlijke snelheid ligt bij het maximum van f(v) waarvoor geldt:

en wordt gegeven door:

RMS-snelheid[bewerken]

De root-mean-square waarde van de snelheidsverdeling is het resultaat van de integraal:

en wordt gegeven door:

Gemiddelde snelheid[bewerken]

De gemiddelde snelheid is het resultaat van de integraal:

en wordt gegeven door:

Verhoudingen[bewerken]

De drie waarden verhouden zich onderling als:

De gemiddelde snelheid ligt ongeveer midden tussen de rms-snelheid en de meest waarschijnlijke snelheid in.

Externe links[bewerken]