Meervoudig nulpunt van een polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Als het getal a een nulpunt is van de polynoom f in x, dan is f deelbaar door de factor x - a. Is f deelbaar door meerdere factoren x - a, dan heet a een meervoudig nulpunt van de polynoom. Het aantal keren k dat f deelbaar is door x - a heet de multipliciteit van het nulpunt a en a wordt een k-voudig nulpunt van f genoemd. Voor zo'n nulpunt a is er een polynoom g waarvoor geldt:

en

.

Een nulpunt met multipliciteit 1 wordt ook een gewoon of een enkelvoudig nulpunt genoemd. Om het aantal nulpunten van een polynoom aan te geven, kan een k-voudig nulpunt als k nulpunten worden meegeteld, nulpunten worden in dat geval naar hun multipliciteit gerekend.

Voorbeeld[bewerken]

Een polynoom, met een enkelvoudig nulpunt voor x=-4 en een tweevoudig nulpunt voor x=1

Zij gegeven het polynoom met domein (zie de figuur rechts):

.

Er geldt:

,

dus 1 is een nulpunt, zodat we f nu kunnen herschrijven als

.

Met behulp van staartdelen kan r worden bepaald:

.

Het polynoom kan vervolgens worden ontbonden in , zodat:

.

Daaruit zien we dat 1 een tweevoudig nulpunt is van het polynoom f en -4 een enkelvoudig nulpunt. Het polynoom f heeft drie nulpunten.

Hoofdstelling van de algebra[bewerken]

Uit de hoofdstelling van de algebra volgt, dat ieder polynoom met een graad n van ten minste 1, precies n nulpunten in het complexe vlak heeft, wanneer ieder nulpunt met k als multipliciteit k keer wordt geteld.