Meervoudig nulpunt van een polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Als het getal a een nulpunt is van de polynoom f in x, dan is f deelbaar door de factor x - a. Is f deelbaar door meerdere factoren x - a, dan heet a een meervoudig nulpunt van de polynoom. Het aantal keren k dat f deelbaar is door x - a heet de multipliciteit van het nulpunt a en a wordt een k-voudig nulpunt van f genoemd. Voor zo'n nulpunt a is er een polynoom g waarvoor geldt:

g(a) \neq 0

en

f(x) = (x-a)^k g(x) .

Een nulpunt met multipliciteit 1 wordt ook een gewoon of een enkelvoudig nulpunt genoemd. Om het aantal nulpunten van een polynoom aan te geven, kan een k-voudig nulpunt als k nulpunten worden meegeteld, nulpunten worden in dat geval naar hun multipliciteit gerekend.

Voorbeeld[bewerken]

Een polynoom, met een enkelvoudig nulpunt voor x=-4 en een tweevoudig nulpunt voor x=1

Zij gegeven het polynoom met domein \mathbb{R} (zie de figuur rechts):

f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 4 .

Er geldt:

f(1) = 0,

dus 1 is een nulpunt, zodat we f nu kunnen herschrijven als

f(x) = (x-1)r(x) .

Met behulp van staartdelen kan r worden bepaald:

f(x) = (x-1)(x^2 + 3x - 4) .

Het polynoom x^2 + 3x - 4 kan vervolgens worden ontbonden in (x - 1)(x + 4)\,, zodat:

f(x) = (x-1)^2(x+4) .

Daaruit zien we dat 1 een tweevoudig nulpunt is van het polynoom f en -4 een enkelvoudig nulpunt. Het polynoom f heeft drie nulpunten.

Hoofdstelling van de algebra[bewerken]

Uit de hoofdstelling van de algebra volgt, dat ieder polynoom met een graad n van tenminste 1, precies n nulpunten in het complexe vlak \mathbb{C} heeft, wanneer ieder nulpunt met k als multipliciteit k keer wordt geteld.