Meetkundige reeks

Een meetkundige reeks in de wiskunde is een reeks waarvan elke term kan worden gevonden door de daaraan voorafgaande term te vermenigvuldigen met een factor $r$. De termen van de reeks vormen dus een meetkundige rij.

De algemene vorm van de $n$-de partieelsom (of $n$-de partiële som; dat is de som van de eerste $n$ termen van de reeks) is:

$\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{n-1}=a\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

behalve als $r=1$ is, want dan is de som gelijk aan $a\cdot n$.

Bovenstaande relatie kan als volgt worden aangetoond.

De $n$-de partieelsom $s_{n}$ is:

$s_{n}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{n-1}$

En dus geldt ook, door beide leden met $r$ te vermenigvuldigen:

$r\cdot s_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+\ldots +ar^{n}$

Aftrekking van de linker- en rechterleden van de laatste twee vergelijkingen geeft:

$(1-r)\cdot s_{n}=a\cdot (1-r^{n})$

zodat:

$s_{n}=a\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

Als de gehele reeks wordt beschouwd, dus met oneindig veel termen en met $|r|<1$, dan is de reeks convergent. Gevolg:

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\ldots ={\frac {a}{1-r}}$

Immers, indien $|r|<1$ is, dan gaat de term $r^{n}$ in de teller van $n$-de partieelsom naar nul als $n$ naar oneindig gaat.

Als $|r|\geq 1$ is, dan is de reeks divergent.

De formules gelden ook met complexe getallen $a$ en $r$.

Zowel het bewijs van het kenmerk van d'Alembert als van het kenmerk van Cauchy is gebaseerd op de convergentie-eigenschap van meetkundige reeksen. In beide gevallen wordt de te onderzoeken reeks vergeleken met een meetkundige reeks.