Methode van Euler

De methode van Euler is de eenvoudigste methode om een numerieke oplossing te berekenen van een differentiaalvergelijking met beginvoorwaarden. De methode werd bedacht door Leonhard Euler en gepubliceerd in 1768 in zijn boek Institutiones Calculi Integralis.

De methode

Twee stappen bij de methode van Euler

Een numerieke oplossing van de differentiaalvergelijking:

$x'=f(t,x)$

met beginvoorwaarde

$x(t_{0})=x_{0}$

kan stapsgewijs, met stapgrootte $h$, verkregen worden in de punten $t_{n}=t_{0}+nh$ via:

$t_{k+1}=t_{k}+h$

en

$x_{k+1}=x_{k}+hf(t_{k},x_{k})$

De berekende waarden $x_{k}$ zijn benaderingen van de werkelijke waarden $x(t_{k})$, de exacte oplossing van het beginwaardeprobleem. Hoe kleiner de stapgrootte $h$ gekozen wordt, hoe meer rekenwerk er nodig is, maar hoe nauwkeuriger de benaderingen worden.

Afleiding

Voor de afleiding van de methode wordt het beginwaardeprobleem

$x'=f(t,x)\qquad x(t_{0})=x_{0}$

omgezet in de equivalente integraalvergelijking

$x(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,x(s))\,\mathrm {d} s$

Het idee achter de methode van Euler is een eenvoudige kwadratuurformule voor de integraal te gebruiken en in elke stap de integrand te benaderen door de waarde aan de linker intervalgrens:

$x(t_{k+1})=x(t_{k})+\int _{t_{k}}^{t_{k+1}}f(s,x(s))\,\mathrm {d} s\approx x_{k}+\int _{t_{k}}^{t_{k+1}}f(t_{k},x_{k})\,\mathrm {d} s=x_{k}+hf(t_{k},x_{k})=x_{k+1}$

Literatuur

• E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Springer Verlag
• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München en Wenen, 2004, ISBN 3-486-27606-9