Methode van Heron

De methode van Heron is een iteratieve benadering voor de vierkantswortel uit een reëel getal > 0. De methode was al in Mesopotamië bekend in de tijd van Hammurabi en werd rond 100 n.Chr. door Heron van Alexandrië beschreven in het eerste deel van zijn boek Metrica.

De basisgedachte achter de methode is de volgende: als het getal $x$ een overschatting is van ${\sqrt {a}}$, dan is $a/x$ een onderschatting, en dat geldt ook andersom. Het ligt dan voor de hand het gemiddelde $(x+a/x)/2$ van beide als betere benadering te nemen. Dat geeft de iteratie:

$x'={\tfrac {1}{2}}\left(x+{\frac {a}{x}}\right)$

De formule voor de methode kan afgeleid worden uit de Newton-Raphson benadering voor het nulpunt van de functie:

$f(x)=x^{2}-a$

De methode van Newton-Raphson geeft als recursie voor de successievelijke benaderingen $x_{n}$ van het nulpunt $x$:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Dat leidt tot de iteratie

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-a}{2x_{n}}}={\frac {x_{n}^{2}+a}{2x_{n}}}={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)$

Voorbeeld

Bereken met de methode van Heron ${\sqrt {1234}}\ (=35{,}1283\ldots )$. Neem als eerste, grove schatting het getal

$x_{1}=30$

De volgende benadering is het gemiddelde van 30 en ${\frac {1234}{30}}=41{,}1333$:

$x_{2}={\tfrac {1}{2}}\left(30+41{,}133\right)=35{,}5667$

Zo verdergaand volgen:

$x_{3}={\tfrac {1}{2}}\left(35{,}5667+{\frac {1234}{35{,}5667}}\right)=34{,}6954$

$x_{4}={\tfrac {1}{2}}\left(34{,}6954+{\frac {1234}{34{,}6954}}\right)=35{,}1311$

$x_{5}={\tfrac {1}{2}}\left(35{,}1311+{\frac {1234}{35{,}1311}}\right)=35{,}1283$

Hiermee is de wortel al op vier decimalen benaderd.