Minimale polynoom

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de Galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is bij een gegeven getal α het minimale polynoom het irreducibele polynoom van de kleinste graad, waarvan α een nulpunt is. Wanneer is gegeven dat α een algebraïsch getal is, is het minimale polynoom van α uniek bepaald. Getallen die geen algebraïsch getal zijn, die geen nulpunt zijn van een polynoom, hebben dus ook geen minimale polynoom. De coëfficiënt voor de hoogste macht van de variabele van het minimale polynoom is 1, of anders: de hoogste macht van de variabele van het minimale polynoom heeft geen coëfficient.

Bestaan[bewerken]

Veronderstel dat L de Galois-uitbreiding is van een lichaam K en stel αL. Als α algebraïsch is over K dan is de verzameling van alle polynomen

I_\alpha = \{f(x) \in K[x] : f(\alpha) = 0\}

een niet-nul ideaal in K[x]. Hieruit volgt dat deze verzameling wordt voortgebracht door een uniek monisch polynoom \,f(x). Dit is het minimale polynoom van α over K genoemd en wordt genoteerd met \,f^\alpha(x) of met f^\alpha_K(x). [1]

Dit is erop gebaseerd, dat het polynoom van α over K het enige monische irreducibele polynoom in K[x] is, waarvan α een nulpunt is.

Voorbeeld[bewerken]

Zij d \mathbb Q met α := √d \mathbb Q . Beschouw f^\alpha_\mathbb Q = x² − d. Dit polynoom is irreducibel want het heeft (wegens de keuze van d) geen nulpunten in  \mathbb Q . Hieruit volgt dat f^\alpha_\mathbb Q het minimale polynoom is van α over  \mathbb Q . In het bijzonder geldt dat  \mathbb Q[\sqrt{d}] een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) is.

Referenties[bewerken]

  1. (en) Steven Roman, Field Theory, Volume 13, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag 2006, 32-33