Momentgenererende functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening en de statistiek is de momentgenererende functie van een stochastische variabele een functie waarmee, mits deze gedefinieerd is, de momenten van bepaald kunnen worden. De momentgenererende functie geeft daarmee een alternatieve mogelijkheid om de kansverdeling van te analyseren. Anders dan de karakteristieke functie, die altijd bestaat en die nauw verwant is aan de momentgenerende functie, is deze laatste niet voor elke gedefinieerd.

Definitie[bewerken]

De momentgenererende functie van de stochastische variabele is de functie die voor reële gegeven wordt door:

mits deze verwachtingswaarde bestaat. De momentgenererende functie kan dan berekend worden als de Riemann-Stieltjes-integraal:

waarin de verdelingsfunctie van is.

Er geldt dus:

waarin het -de moment van is. De momentgenererende functie is daarmee de voortbrengende functie van de rij

Als de momentgenererende functie bestaat in een interval rond , genereert de momentgenererende functie de momenten van als volgt:

Voorbeelden[bewerken]

Normale verdeling[bewerken]

Voor de normale verdeling met parameters en is de momentgenererende functie:

Exponentiële verdeling[bewerken]

Voor de exponentiële verdeling met parameter λ is de momentgenererende functie:


Voor een rij onderling onafhankelijke (en niet noodzakelijk identiek verdeelde) toevalsgrootheden , wordt de momentgenererende functie van de gewogen som

waar de constanten zijn, gegeven door


Verwant met de momentgenererende functie zijn enkele andere integraaltransformaties die voorkomen in de kansrekening, zoals de karakteristieke functie en de kansgenererende functie.

De cumulantgenererende functie is de logaritme van de momentgenererende functie.

Verband met Laplacetransformatie[bewerken]

Als de kansdichtheid van bestaat, is

de tweezijdige Laplacegetransformeerde van .