Monotone convergentie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de integraalrekening is een belangrijk vraagstuk, onder welke omstandigheden limieten en integralen verwisseld mogen worden. De stelling van de monotone convergentie garandeert dat dit onder bepaalde algemene voorwaarden toegelaten is voor een bijna overal stijgende rij functies.

De monotone convergentiestelling werd in 1906 bewezen door Beppo Levi.

Het begrip integreerbaarheid slaat hierna steeds op de Lebesgue-integraal.

Stelling[bewerken]

Zij f1, f2, ..., fn,... een rij integreerbare functies met de eigenschap dat voor elke n

f_n\leq f_{n+1} bijna overal

en de rij der integralen is begrensd:

\exists c\geq0,\forall n\in\mathbb{N}:\int f_n\leq c.

Dan bestaat er een integreerbare functie f met de eigenschap dat

\lim_{n\to\infty}f_n=f bijna overal

en

\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f

Tegenvoorbeeld[bewerken]

Het volgende voorbeeld toont dat de conclusie niet meer gegarandeerd blijft als de rij niet monotoon is. Zij

f_n = 1_{[n,n+1]}

de indicatorfunctie van het gesloten eenheidsinterval, verschoven over een afstand n. Dan is

\forall n\in\mathbb{N}:\int f_n=1

en

\lim_{n\to\infty}f_n=0\hbox{ overal}

Maar de integraal van de limietfunctie is 0, niet 1.

Toepassing[bewerken]

Reeksen zijn een bijzonder geval van limieten. De partiële sommen van een reeks met positieve termen vormen een stijgende rij. Uit de stelling van de monotone convergentie volgt dus:

Bij een reeks van niet-negatieve integreerbare functies mogen som en integraal verwisseld worden.

Zie ook[bewerken]

De monotone convergentiestelling is verwant met de stelling van de gedomineerde convergentie van Henri Lebesgue.