Nabla

Nabla, of del, aangeduid door het symbool $\nabla$$\nabla$, is een differentiaaloperator in de vectorrekening. De naam is afkomstig van een Assyrische benaming van een harp die ongeveer de vorm van het gebruikte symbool heeft. Nabla wordt gebruikt als notatie voor de operatoren gradiënt, divergentie en rotatie.

In $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R}^n$ met variabelen $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ (Cartesische coördinaten) correspondeert nabla met de volgende formele vector van partiële afgeleiden:

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

Toepassingen

Nabla wordt onder andere gebruikt in de volgende definities:

• Gradiënt:	$\operatorname {grad} \ f=\nabla f$$\operatorname {grad}\ f=\nabla f$
• Divergentie:	$\operatorname {div} \ \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F}$$\operatorname {div}\ {\mathbf {F}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$
• Rotatie:	$\operatorname {rot} \ \mathbf {V} =\nabla \times \mathbf {V}$$\operatorname {rot}\ {\mathbf {V}}=\nabla \times {\mathbf {V}}$
• Laplace-operator:	$\Delta f=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot (\nabla f)$$\Delta f=\operatorname {div}(\operatorname {grad}f)=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot (\nabla f)$

De operand f is hier een scalair veld, terwijl de operanden F en V vectorvelden zijn.

Voorbeeld

Zij $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$$f:{\mathbb {R}}^{3}\rightarrow {\mathbb {R}}$ de functie gegeven door

$\,f(x,y,z)=xyz+x^{2}$$\,f(x,y,z)=xyz+x^{2}$.

Dan is de gradiënt van f in cartesische coördinaten:

$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=(yz+2x,xz,xy)$$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=(yz+2x,xz,xy)$

Coördinaatonafhankelijke definitie

Het is mogelijk nabla te definiëren onafhankelijk van het gebruikte coördinatensysteem. Daartoe generaliseert men de soortgelijke definitie van divergentie.

$\nabla \star F=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {1}{\Delta V}}\oint dS\star F$$\nabla \star F=\lim _{{\Delta V\to 0}}{\frac {1}{\Delta V}}\oint dS\star F$

Hierin is F een scalaire functie, een vector- of een tensorveld , en $\star$$\star$ het bijbehorende product.

Zie ook

• Nabla in verschillende assenstelsels

Bronnen, noten en/of referenties