Negatief grondtal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een positiestelsel kan een negatief grondtal hebben. Deze talstelsels zijn voor het eerst beschreven door Vittorio Grunwald in zijn werk Giornale di Matematiche di Battaglini uit 1885. Naderhand zijn negatieve talselsels herontdekt door A. J. Kempner in 1936 en Z. Pawlak and A. Wakulicz in 1959.

Met een negatief talstelsel is het mogelijk positieve en negatieve getallen te laten zien zonder een minteken te gebruiken.

Met het grondtal -2 als voorbeeld, worden de eerste getallen:

  0 =  0 =                         0 × (-2)0 =          0
  1 =  1 =                         1 × (-2)0 =          1
 10 = -2 =             1 × (-2)1 + 0 × (-2)0 =     -2 + 0
 11 = -1 =             1 × (-2)1 + 1 × (-2)0 =     -2 + 1
100 =  4 = 1 × (-2)2 + 0 × (-2)1 + 0 × (-2)0 =  4 + 0 + 0 
101 =  5 = 1 × (-2)2 + 0 × (-2)1 + 1 × (-2)0 =  4 + 0 + 1 
110 =  2 = 1 × (-2)2 + 1 × (-2)1 + 0 × (-2)0 =  4 - 2 + 0
111 =  3 = 1 × (-2)2 + 1 × (-2)1 + 1 × (-2)0 =  4 - 2 + 1 

Uit het bovenstaande voorbeeld blijkt dat ook de negatieve gehele getallen voorgesteld kunnen worden zonder gebruik te maken van het minteken. Dat het systeem tot dusver niet toegepast wordt, heeft te maken met de "springerige" aard van de opeenvolgende waarden. Zo hebben de eerste 16 waarden van met het grondtal -2 achtereenvolgens de volgende decimale waarden [1]:

0, 1, -2, -1, 4, 5, 2, 3, -8, -7, -10, -9, -4, -3, -6, -5

Dit werkt niet alleen met -2, maar met elk negatief geheel getal dat geen -1 is.

Grondtalmintwee.PNG Grondtalmindrie.PNG Grondtalminvier.PNG Grondtalminvijf.PNG Grondtalmintien.PNG

Opmerkelijk is dat de lijn door de x-as gaat bij de positieve vorm van iedere macht van het grondtal. Bij grondtal -2 snijdt de lijn op 2, 4, 8, 16, 32... Bij grondtal -10 gebeurt dat bij 10, 100, 1000...

Mogelijke toepassingen van dit soort getallen zijn te vinden in de cryptografie en bij systemen waar alleen cijfers gebruikt kunnen worden (zonder tekens als de -).

Bronnen, noten en/of referenties
  1. rij A053985 in OEIS