Negenpuntscirkel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Negenpuntscirkel van ΔABC

Van de driehoek ABC is de negenpuntscirkel de cirkel door de volgende negen punten:

  • de middens van de zijden van de driehoek: Ma, Mb en Mc;
  • de hoekpunten van de voetpuntsdriehoek van driehoek ABC: Ha, Hb en Hc;
  • de middens van de lijnstukken die het hoogtepunt H verbinden met de hoekpunten: Da, Db en Dc.

De driehoek MaMbMc met zijden die de helft zijn van de zijden van ΔABC, is gelijkvormig met deze driehoek. De negenpuntscirkel is de omgeschreven cirkel van ΔMaMbMc en heeft dus als straal de helft van de straal van de omgeschreven cirkel van ΔABC.

Ook ΔDaDbDc − de zijden hiervan zijn ook de helft van de zijden van ΔABC − is gelijkvormig met ΔABC. De negenpuntscirkel is van deze driehoek eveneens de omgeschreven cirkel, die voorts kan worden opgevat als het beeld van de omgeschreven cirkel van ΔABC bij vermenigvuldiging met de factor 1/2 en centrum H. De negenpuntscirkel gaat dus door het midden van elk lijnstuk HP, waarbij P op de omgeschreven cirkel van ΔABC ligt. Met andere woorden: de negenpuntscirkel is de meetkundige plaats van de middens van de lijnstukken HP.

Stelling van Feuerbach[bewerken | brontekst bewerken]

De negenpuntscirkel raakt inwendig aan de ingeschreven cirkel en uitwendig aan de aangeschreven cirkels.

De Duitse wiskundige Karl Feuerbach (1800-1834) bewees in 1822 dat de negenpuntscirkel raakt aan de ingeschreven cirkel en de aangeschreven cirkels van een driehoek. Het raakpunt met de ingeschreven cirkel heet punt van Feuerbach; de raakpunten met de aangeschreven cirkels vormen de driehoek van Feuerbach.

Middelpunt[bewerken | brontekst bewerken]

Het middelpunt N van de negenpuntscirkel ligt op de rechte van Euler en de cirkel van Lester. Het is het driehoekscentrum met Kimberlingnummer X(5). De barycentrische coördinaten van N zijn

Pascal zeshoek[bewerken | brontekst bewerken]

De zeshoek HaMbHcMaHbMc heeft de rechte van Euler als Pascallijn.

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]