Normaaldeler

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Normale deelgroep)
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskundige groepentheorie is een normaaldeler of normale ondergroep een ondergroep van een groep , waarvan de nevenklassen met elkaar weer een nieuwe groep vormen. Het is kenmerkend voor een normaaldeler dat de linker- en de rechternevenklassen ervan samenvallen. Van de normaaldeler vormen de nevenklassen een partitie (disjuncte opdeling) van de groep . De nieuw gecreëerde groep is gedefinieerd als de factorgroep van en .

Definitie[bewerken]

Zij een groep, en een ondergroep van . Men zegt dat een normaaldeler is van als voor alle elementen en geldt

Men noteert dit vaak als:

Men schrijft ook wel

waarin

Voorbeelden[bewerken]

Van een abelse groep is elke deelgroep normaal, want

.

Algemener is het centrum van een groep , dat zijn de elementen die met ieder ander element commuteren, een normaaldeler van . Ook elke ondergroep van is normaal in .

In de permutatiegroep op een eindige verzameling met elementen vormen de even permutaties een normaaldeler, de zogenaamde alternerende groep .

De kern van een homomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutraal element. Het is steeds een normaaldeler.

In de permutatiegroep is de ondergroep (de cyclische ondergroep van twee elementen, voortgebracht door de verwisseling van 1 en 2) geen normaaldeler, omdat

De alternerende groep heet enkelvoudig (of "simpel") omdat hij geen enkele echte normaaldeler heeft (geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf).

In de Lie-groep der rotaties in vormen de rotaties om de -as een ondergroep die niet normaal is. De Lie-groep is enkelvoudig, omdat hij geen echte Lie-ondergroepen heeft die normaal zijn.

In de groep van de inverteerbare -matrices over een lichaam , is de Speciale lineaire groep van de matrices met determinant 1 een normaaldeler. Dit is eigenlijk een bijzonder geval van een hogergenoemde regel, want de determinant-afbeelding kan worden opgevat als een groepshomomorfisme.

Normalisator[bewerken]

De normalisator van een ondergroep van de groep is gedefinieerd als

Het is de grootste ondergroep van waarin nog normaal is.