Normale matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de lineaire algebra is een normale matrix een vierkante matrix van complexe getallen waarvan de eigenvectoren loodrecht op elkaar staan.

Definitie[bewerken]

Een vierkante matrix over de complexe getallen heet normaal als hij met zijn hermitisch toegevoegde commuteert:

De hermitisch toegevoegde matrix heeft als elementen de complex geconjugeerde van de getransponeerde matrix van

Voorbeelden[bewerken]

Alle complexe veelvouden van de eenheidsmatrix zijn normaal, ze commuteren immers met alle matrices.

Elke Hermitische matrix is normaal. De definiërende voorwaarde is namelijk Om dezelfde reden zijn anti-Hermitische matrices () normaal. Reële symmetrische (respectievelijk antisymmetrische) matrices zijn hiervan bijzondere gevallen.

Elke unitaire matrix is normaal. Unitariteit wordt gedefinieerd door de voorwaarde Door van beide leden de hermitisch toegevoegde te nemen, wordt dit Onder de reële matrices zijn dit de orthogonale matrices.

Er bestaan ook normale matrices die niet tot een van deze bijzondere klassen behoren, bijvoorbeeld

is normaal omdat

De klasse der normale matrices is niet gesloten voor de optelling, noch voor het product van matrices. Als evenwel twee normale matrices en commuteren, dan zijn hun som en product eveneens normaal. Dit doet zich voor als en gelijktijdig diagonaliseerbaar zijn, dat wil zeggen dat ze in de context van de spectraalstelling (zie hieronder) gediagonaliseerd worden door eenzelfde unitaire matrix.

Eigenschappen[bewerken]

Een reële matrix is normaal dan en slechts dan als hij met zijn getransponeerde commuteert:

Spectraalstelling: een complexe matrix is dan en slechts dan normaal als hij unitair equivalent is met een diagonaalmatrix, dit wil zeggen dat hij door een geschikte complexe rotatie van de basisvectoren, overgaat in een diagonaalmatrix. In symbolen: is dan en slechts dan normaal als er een diagonaalmatrix en een unitaire matrix bestaan, zodanig dat

Voor een reële normale matrix kan dit een complexe rotatie naar niet-reële basisvectoren zijn. De kolommen van zijn de eigenvectoren van

Een complexe matrix is dan en slechts dan normaal als zijn eigenvectoren loodrecht op elkaar staan. Hierbij wordt loodrechte stand geïnterpreteerd in termen van het standaard hermitische inproduct op de complexe -dimensionale coördinatenruimte.

Een willekeurige vierkante matrix heeft een polaire ontbinding waarin een unitaire matrix is en een positief semi-definiete matrix. Als inverteerbaar is, zijn en eenduidig bepaald. Als normaal is, dan commuteren en

Veralgemening tot oneindig-dimensionale ruimten[bewerken]

Een normale operator in een complexe Hilbertruimte is een begrensde lineaire operator (transformatie van de Hilbertruimte) die commuteert met zijn toegevoegde operator.

Voor normale operatoren bestaat een spectrale calculus. Met elke meetbare complexe functie op het spectrum van de operator associeert men op natuurlijk wijze een operator Met de complex toegevoegde functie correspondeert de Hermitisch toegevoegde operator en de vermenigvuldiging van functies gaat over in de samenstelling van operatoren.

Als de normale operator compact is, dan heeft de Hilbertruimte een orthonormale Schauderbasis die volledig bestaat uit eigenvectoren van de operator.