Naar inhoud springen

Normale matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de lineaire algebra is een normale matrix een vierkante matrix van complexe getallen waarvan de eigenvectoren onderling loodrecht op elkaar staan.

Dat betekent dat een vierkante matrix over de complexe getallen normaal is als en de geconjugeerde getransponeerde matrix ervan commutatief zijn:

De geconjugeerde getransponeerde matrix [1] heeft als elementen de complex geconjugeerde elementen van de getransponeerde matrix van

Een complexe matrix is dan en slechts dan normaal wanneer gelijksoortig met een diagonaalmatrix is, dus zodat er een matrix is waarvoor . De matrix moet een unitaire matrix zijn.

Dit betekent dat door een geschikte rotatie van de complexe basisvectoren in een diagonaalmatrix overgaat. Met andere woorden: is dan en slechts dan normaal als er een diagonaalmatrix en een unitaire matrix bestaan, zodanig dat . Voor een reële normale matrix kan dit een complexe rotatie naar niet-reële basisvectoren zijn. De kolommen van zijn de eigenvectoren van

  • Iedere hermitische matrix is normaal, omdat daarvoor geldt dat . Om dezelfde reden zijn anti-hermitische matrices, waarvoor , normaal. Reële symmetrische en antisymmetrische matrices zijn hiervan bijzondere gevallen.
  • Iedere unitaire matrix is normaal. Een matrix is unitair wanneer . Door van beide leden de geconjugeerde getransponeerde te nemen, wordt dit . Onder de reële matrices zijn dit de orthogonale matrices.
  • Er bestaan ook normale matrices die niet tot een van deze bijzondere verzamelingen behoren, bijvoorbeeld
is normaal omdat
en
  • De verzameling van normale matrices is noch voor de optelling, noch voor de matrixvermenigvuldiging gesloten. Als evenwel twee normale matrices en commutatief zijn, dan zijn hun som en product ook normaal. Dit doet zich voor als en gelijksoortige matrices zijn, dus zodat met een unitaire matrix.

Eigenschappen

[bewerken | brontekst bewerken]
  • Een reële matrix is normaal dan en slechts dan als en de getransponeerde van commutatief zijn:
  • Een complexe matrix is dan en slechts dan normaal als en de hermitische matrix van commutatief zijn:
  • Een willekeurige vierkante matrix heeft een polaire ontbinding , waarin een unitaire matrix is en een positief semi-definiete matrix. Als inverteerbaar is, zijn en eenduidig bepaald. Als normaal is, dan zijn en commutatief.

Oneindig-dimensionale ruimten

[bewerken | brontekst bewerken]

De spectraalstelling gaat er dieper op in wanneer matrices gelijkvormig zijn.

Een normale operator in een complexe hilbertruimte is een begrensde lineaire operator of transformatie van de hilbertruimte, die met zijn toegevoegde operator commutatief is.

Voor normale operatoren bestaat een spectraaltheorie. Met iedere meetbare complexe functie op het spectrum van de operator associeert men op natuurlijk wijze een operator Met de complex toegevoegde functie correspondeert de geconjugeerde getransponeerde operator en de vermenigvuldiging van functies gaat in de samenstelling van operatoren over.

Als de normale operator compact is, dan heeft de hilbertruimte een orthonormale schauderbasis, die volledig uit eigenvectoren van de operator bestaat.