Baumann werd op tienjarige leeftijd opgenomen in de jeugdopleiding van SC Freiburg. Op 8 mei 2010 maakte Baumann daarvoor zijn profdebuut in de Bundesliga, tegen Borussia Dortmund.
Baumann is vaste doelman bij Duitsland -21. Hij maakte zijn debuut op 3 september 2010 tegen Tsjechië -21. Daarvoor was hij al actief bij Duitsland -18, -19 en -20.