Omzettertheorie toegepast in de elektro-akoestiek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De opmaak van dit artikel is nog niet in overeenstemming met de conventies van Wikipedia. Mogelijk is ook de spelling of het taalgebruik niet in orde. Men wordt uitgenodigd deze pagina aan te passen.

Mee bezig Mee bezig
Aan dit artikel of deze sectie wordt de komende uren of dagen nog druk gewerkt.
Klik op geschiedenis voor de laatste ontwikkelingen.

Omzettertheorie toegepast in de elektro-akoestiek

Inleiding[bewerken]

Dit artikel geeft een overzicht van de vier meest voorkomende omzetters, ook wel transducers genoemd, die hun toepassing vinden in de elektro-akoestiek. Dit hoeft niet in te houden dat de beschreven theorie alleen geschikt is voor deze tak in de techniek. In principe is deze theorie toepasbaar op elk gebied waar omzetters gebruikt worden.

Verder is een apart deel gewijd aan de analogie van de gebruikte systemen n.l. het elektrische, mechanische en akoestische systeem. Deze analogieën zijn uit te breiden naar andere systemen, zoals o.m. de technische en rotatorische systemen. Echter dit valt buiten het bestek van het artikel.

Daaropvolgend in ander apart deel is de beschreven theorie toegepast op twee populaire producten van de elektro-akoestische techniek; de luidspreker en de microfoon, waarvan enkele types worden beschreven.

Omzetters[bewerken]

Omzetters zijn middelen om energie van de ene verschijningsvorm om te zetten in energie van een andere verschijningsvorm.

De omzetters worden in dit artikel beschouwd als zijnde vierpolen. De karakteristieke eigenschappen van een vierpool worden bepaald door de vierpoolconstanten. Deze vormen tezamen de matrix van de vierpool. Er is beperkt tot een kettingschakeling, waarbij alleen maar de afhankelijkheid van de ingangsgrootheden en van de uitgangsgrootheden en van belang zijn, wordt alleen gerekend met de kettingmatrix en de constanten , , , enz.

Uit de vierpoolvergelijking volgt de matrix:

De matrix is dan:

Uitgeschreven is dit:

Bij het kettingschakelen van vierpolen worden de matrices van de vierpolen op de volgende wijzen met elkaar vermenigvuldigd:

Zodat bij kettingschakelen de vierpoolvergelijking ontstaatl

Deze rekenwijze vereenvoudigt in sterke mate het inzicht in het gedrag van een vierpool. Daarnaast is het een eenvoudig systeem om de ingangsimpedanties van circuits te bepalen. Er is van uitgegaan dat de beschreven omzetters een 100% rendement hebben.

De elektrodyamische omzetter[bewerken]

Bij een elektrodynamische omzetter (afkorting E-M) wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie door beweging - t.g.v. een elektrische stroom - van een geleider in een statisch magnetisch veld. Daarom wordt deze ook wel elektromagnetische omzetter genoemd. Deze omzetter is omkeerbaar. Voorbeeld van deze omkeerbaarheid zijn een elektromotor en een dynamo.

Diagram elektromagnetische omzetter

De E-M omzetter volgt de wet van [[Lorentzkracht|Lorentz:

waarin:

de ontwikkelde kracht in Newton
de fluxdichtheid in
de totale lengte van de geleider in meter
de stroom in ampere
de spanning in volt
de snelheid in

Uit de bovenstaande betrekkingen wordt de vierpoolvergelijking gedestilleerd:

en in de matrix schrijfwijze:

De mechanische impedantie wordt gevonden uit het quotiënt van de kracht en snelheid . De eenheid is . Uit de Lorentz wet ontstaan dan:

Op deze wijze is een directe betrekking tussen de elektrische- en mechanische impedanties. Het verband tussen het elektrisch en het mechanisch vermogen is:

Magneto-dynamische omzetter[bewerken]

Bij een magneto-dynamische omzetter (afkorting M-M) wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie door beweging van een anker ten gevolge van een wisselend magnetisch veld. Deze omzetter is omkeerbaar.

Diagram magneto-dynamische omzetter

De betrekkingen zijn:

waarin:

de aangelgde spanning in volt
betekent 180 graden fasedraaiing
de cirkelfrekwentie in
de magnetische veldsterkte in
de ontwikkelde kracht in Newton
het aantal windingen van de spoel om de magneet
de snelheid in

De vierpoolvergelijking zijn:

in de matrix schrijfwijze:

Uit de bovenstaande betrekkingen volgt:

Op deze wijze is een mechanische impedantie getransformeerd naar een elektrische impedantie. De getransformeerde mechanisch cirquit elementen behouden hun topologische plaats. Serie- en parallelschakelingen blijven gehandhaafd.


Piëzo-elektrische omzetter[bewerken]

Bij een piëzo-elektrische omzetter (afkorting P-M) wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie door de deformatie (vervorming) van de kristalassen in het materiaal waardoor beweging ontstaat. Deze omzetter is omkeerbaar.

Figuur piëzo-elektrische omzetter

De betrekkingen zijn:

waarin:

de evenredigheidsfactor in
de aangelegde spanning in volt
de ingaande stroom in
de ontwikkelde kracht in Newton
de snelheid in

De factor is te bepalen door aan een strip piëzo-materiaal een bekende spanning te leggen en dan de kracht te meten waarmee het stripje wordt omgebogen of, andersom, een bekende kracht aan te wenden en dan op een ballistische galvanometer de lading te bepalen, die getransporteerd wordt.

De vierpoolvergelijkingen zijn:

in de matrix schrijfwijze:

Uit de bovenstaande betrekkingen volgt:

De mechanische impedantie wordt getransformeerd naar een elektrische impedantie en de cirquit elementen behouden hun topologische plaats in het cirquitdiagram d.w.z. serie- en parallelschakelingen blijven gehandhaafd.

Mechano-Akoestische omzetter[bewerken]

Als sluitstuk van de de serie meest voorkomende omzetters wordt de mechano-akoestische omzetter beschreven, daar deze altijd de laatste omzetter vormt in een elektro-akoestisch systeem. Voorbeelden van mechano-akoestische omzetters zijn membranen als trommelvellen en luidsprekerconussen.

De mechano-akoestische omzetter (afkorting M-A) zet mechanische energie in akoestische energie door het in trilling brengen van de omringende lucht (of ander medium). Deze omzetter is omkeerbaar.

Figuur Mechano-Akoestische omzetter

De betrekkingen zijn:


waarin:

de volumesnelheid in
de geluidsdruk in
het oppervlak waarover getransformeerd wordt (bijvoorbeeld een membraam) in

De vierpoolvergelijkingen zijn:


in de matrix schrijfwijze:


Uit de bovenstaande betrekkingen volgt:

ofwel in

De akoestische impedantie wordt via de omzetfactor in een mechanische impedantie getransformeerd en de cirquit elementen behouden hun topologische plaats in het cirquitdiagram.

Analogie elektrische, mechanische en akoestische systemen[bewerken]

De analogie tussen de systemen wordt gekarakteriseerd door de grootheid vermogen uitgedrukt in volt-ampères of newtonmeters per seconde en algemeen, in watts.

Definiëring wet van Ohm en vermogen[bewerken]

De spanning , de kracht en de druk kunnen analoog aan elkaar worden gesteld, daar zij een "kracht"-werking uitoefenen die respectievelijk een stroom , een snelheid en een volumesnelheid veroorzaken. Deze eenheden kunnen ook complex zijn.

In de elektrische leer is er de Wet van Ohm:

reëel complex eenheid

Er kan ook een mechanische wet van Ohm verondersteld worden:

reëel complex eenheid

en een akoestische wet van Ohm:

reëel complex eenheid

Voor het vermogen geldt:

systeem formule eenheid
elektrisch:
mechanisch:
akoestisch:

Hiermee zijn deze elementaire zaken benoemd en kan de analogie worden vastgesteld tussen elektrische, mechanische en akoestische elementen, zoals bijvoorbeeld zelfinductie, massa en akoestische massa. En verder capaciteit, compliantie (de reciproke waarde van de stijfheid of de veerkonstante) en akoestische compliantie.

Uitwerking analogie[bewerken]

Een spanning veroorzaakt over een zelfinductie een aangroeiende stroom volgens:

.

waarin de zelfinductie is (in henry), de stroom en staat voor de afgeleide naar de tijd.

Dit is analoog aan de aangroeiende snelheid, wanneer een kracht op een massa werkt (Tweede wet van Newton):

.

waarin de kracht is (in Newton), de Massa in kilogram, de snelheid in en de eenparige versnelling.

En akoestisch, wanneer een druk aangewend wordt om een akoestische massa te versnellen:

waarin de volumesnelheid is in .

Daar , , en , , analoog gesteld zijn kunnen ook , , analoog worden gesteld.


Op dezelfde wijze wordt de analogie tussen de capaciteit , compliantie en de akoestische compliantie bepaald.

voor de elektrische condensator geldt:

mechanisch, wanneer een veer met compliantie gespannen is door een kracht (Wet van Hooke):

en akoestisch, indien een druk op een oppervlak, waarachter zich een volume bevindt, een volumesnelheid volumesnelheid veroorzaakt:

Impedantie analogieën[bewerken]

Als de spanning, de kracht en de druk een harmonisch verlopend karakter hebben dan geldt:

de elektrische impedantie van : en van :
de mechanische impedantie van : en van :
de mechanische impedantie van : en van :

Drie voorbeelden van analogieën[bewerken]

Spoel en condensator[bewerken]

LC-kring

1. In de serie-schakeling van een spoel en condensator is voor beide elementen de stroom hetzelfde en dan geldt:

Door te stellen geeft de differentiaal vergelijking als oplossing:

Massa en veer[bewerken]

Veer-massa systeem

In de serie-schakeling van een veer en massa , waarvoor voor beide elementen de snelheid dezelfde is, geldt:

Stel dan is de oplossing:

Akoestische massa en -veer (de Helmholzresonator)[bewerken]

Akoestisch bezien is een serie schakeling van een compliantie en massa een Helmholtzresonator. De volumesnelheid is voor beide elementen dezelfde, dus geldt:

Stel dan is de oplossing:

Overzicht analogieën en een rekenvoorbeeld[bewerken]

Deze analogieën worden gebruikt bij het rekenen aan elektro-akoestische omzetters.

overzicht[bewerken]

Elektrisch Mechanisch Akoestisch
Spanning
Stroom
Kracht
Snelheid
Druk
Volume snelheid
Vermogen Vermogen Vermogen
Weerstand
Symbool E-A-Resistor symbol.svg
Weerstand
Symbool E-A-Resistor-mechanic symbol.svg
Weerstand
Symbool E-A-Resistor-mechanic symbol.svg
Zelfinductie
Symbool E-A-Inductor symbol.svg
Massa
Symbool E-A-Mass symbol.svg
Massa
Symbool E-A-Mass symbol.svg
Capaciteit
Symbool E-A-Capacitor symbol.svg
Compliantie
Symbool E-A-Compliance symbol.svg
Compliantie
Symbool E-A-Compliance symbol.svg

rekenvoorbeeld[bewerken]

Analogie luidspreker in vacuüm

Het schema stelt een luidspreker in vacuüm voor. Het membraan (conus) van de luidspreker wordt akoestisch niet belast. Via de E-M omzetter wordt het mechanische circuit van het membraam met de elementen , en . De elementen staan in serie, omdat de snelheid voor de alle circuitelementen hetzelfde is. is de omzetfactor.

Er geldt Ω

is hier de totale mechanische impedantie van het membraam. is de electrische analogie van . Het getransformeerde circuit wordt na transformatie van ieder element.

Voor de mechanische weerstand (verliezen) van het membraam geldt:
[Ω]
waarin de gereflecteerde elektrische waarde is van
Voor de mechanische compliantie geldt:
[Vs/A]
waarin de gereflecteerde elektrische waarde is van de compliantie
Door het gevolg van girerende effect van de omzetter wordt de compliantie gereflecteerd als een zelfinductie ipv een condensator.
Voor de massa geldt:
[As/V]
waarin de gereflecteerde elektrische waarde is van de mechanische massa .
Elektrische analogie een membraan

Omdat aan de ingang van het circuit de spanning voor alle elementen hetzelfde is, wordt de serieschakeling als een parallel schakeling weergegeven. Een van de eigenschappen van luidsprekers is dat in de impedantie karakteristiek een piek is te zien als gevolg van de eigen resonantie. Die opslingering is verklaarbaar met de analogie in het circuit.

Referenties[bewerken]

(nl) Swarte, Peter, Introductie tot de Elektro-akoestiek, Elektor, Susteren, 2010, 200. ISBN 978-9-053-81256-3. Geraadpleegd op 13 januari 2018.