Onafhankelijkheid (kansrekening)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening betekent het begrip statistische onafhankelijkheid intuïtief gezien dat bij twee gebeurtenissen het feit of de ene gebeurtenis al dan niet voorkomt geen invloed heeft op de kans dat de andere gebeurtenis voorkomt. Hetzelfde begrip kan ook op stochastische variabelen toegepast worden.

Intuïtieve verklaring[bewerken]

Als we willekeurig een mens op aarde aanwijzen, zal de kans dat het een vrouw blijkt te zijn gelijk zijn aan 1/2. Vertelt iemand ons dat de aangewezen persoon uit Afrika komt, dan nog zal het in de helft van de gevallen een vrouw blijken te zijn, dat wil zeggen ook dan zal de kans op een vrouw 1/2 zijn. Anders wordt het voor de kans op een donkere huidskleur. Deze kans is kleiner voor een willekeurige wereldburger dan een willekeurig gekozen persoon uit Afrika. Het optreden van de gebeurtenis A(frika) verandert niets aan de kans op de gebeurtenis V(rouw), maar wel aan de kans op de gebeurtenis D(onkere huidskleur). We noemen daarom de gebeurtenissen A en V (onderling) onafhankelijk. De gebeurtenissen A en D daarentegen heten (onderling) afhankelijk. Een formele definitie wordt meestal in termen van het gelijktijdig optreden van beide gebeurtenissen gegeven, waaruit de bovengenoemde eigenschap volgt.

Onafhankelijkheid van gebeurtenissen[bewerken]

Definitie[bewerken]

In een kansruimte heten de gebeurtenissen A en B onderling onafhankelijk als de kans op gelijktijdig optreden het product is van de kansen op afzonderlijk optreden, dus:

\,P(A\cap B)=P(A)P(B).

Twee gebeurtenissen die niet onderling onafhankelijk zijn heten onderling afhankelijk.

Meestal zeggen we kort dat de gebeurtenissen (on)afhankelijk zijn in plaats van onderling (on)afhankelijk.

Eigenschap[bewerken]

Uit de definitie volgt voor onafhankelijke gebeurtenissen A en B:

\,P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{P(A)P(B)}{P(A)} = P(B).

We zien dat als de gebeurtenissen A en B onderling onafhankelijk zijn, de voorwaardelijke kans van optreden van B gegeven dat A opgetreden is, gelijk is aan de onvoorwaardelijk kans op het optreden van B. Dit is precies de eigenschap die in de inleiding genoemd werd.

Deze eigenschap wordt ook wel gebruikt als definitie van onafhankelijkheid, waarna de definitie hierboven de productregel wordt genoemd.

Generalisatie[bewerken]

Het is ook mogelijk van de onafhankelijkheid van meer dan twee gebeurtenissen te spreken.

Paarsgewijze onafhankelijkheid[bewerken]

De gebeurtenissen in een al dan niet eindige collectie (A_i) heten paarsgewijs onafhankelijk, als elk tweetal onderling onafhankelijk is.

Paarsgewijze onafhankelijkheid is niet voldoende om elke afhankelijkheid tussen de gebeurtenissen in de collectie uit te sluiten. Voor volledige onderlinge onafhankelijkheid is daarom meer vereist.

Onderlinge onafhankelijkheid[bewerken]

De gebeurtenissen in een al dan niet eindige collectie (A_i) heten (onderling) onafhankelijk, als voor elke eindige deelcollectie \{A_{i_1},\dots, A_{i_n}\} geldt:

P\left( A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_n}\right) = P(A_{i_1})\cdot\dots\cdot (A_{i_n})

Voor drie gebeurtenissen A, B en C houdt dit in dat ze paarsgewijze onafhankelijk zijn, als:

P(A\cap B)=P(A)P(B), P(A\cap C)=P(A)P(C) en P(B\cap C)=P(B)P(C).

Geldt bovendien dat

P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C),

dan is het drietal onderling onafhankelijk.

Voorbeeld[bewerken]

We werpen twee keer een zuivere munt en wel zo dat de tweede worp onafhankelijk van de eerste gebeurt. De onafhankelijkheid van de worpen, bewerkstelligt dat gebeurtenissen betreffende de eerste worp onafhankelijk zijn van gebeutenissen betreffende de tweede worp. De uitkomstenruimte is: {KK,KM,MK,MM}, waarbij de letters K(ruis) en M(unt) achtereenvolgens de uitkomsten van de eerste enn de tweede worp aangeven. Door de onafhankelijk worpen hebben we ervoor gezorgd dat elke uitkomst een kans 1/4 heeft. We bekijken de gebeurtenissen:

A = {KK,KM} (de uitkomst van de eerste worp is kruis)
B = {KK,MK} (de uitkomst van de tweede worp is kruis)
C = {KK,MM} (de uitkomsten van de beide worpen zijn gelijk)

Het drietal is paarsgewijs onafhankelijk, immers:

P(A\cap B)=P(\{KK\})=\tfrac 14 = P(A)P(B)
P(A\cap C)=P(\{KK\})=\tfrac 14 = P(A)P(C)
P(B\cap C)=P(\{KK\})=\tfrac 14 = P(B)P(C)

Het is duidelijk dat als zowel A als B zich voorgedaan heeft, we zeker weten dat ook C opgetreden is. De drie gebeurtenissen lijken niet volledig onafhankelijk. Inderdaad, is:

P(A\cap B\cap C)=P(\{KK\})=\tfrac 14 \ne P(A)P(B)P(C)=\tfrac 18

Onafhankelijkheid van stochastische variabelen[bewerken]

Ook voor stochastische variabelen spreken we van onafhankelijkheid en we baseren dat op onafhankelijkheid van gebeurtenissen. We noemen twee stochastische variabelen (onderling) onafhankelijk als elke gebeurtenis die de een betreft onafhankelijk is van elke gebeurtenis die de ander betreft.

Definitie[bewerken]

De stochastische variabelen X en Y heten onderling onafhankelijk als voor alle B1 en B2 de gebeurtenissen;

\{X\in B_1\}

en

\{Y\in B_2\}

onderling onafhankelijk zijn.

Als X integreerbaar is (dat wil zeggen een verwachting heeft), dan is dit gelijkwaardig met de eis dat de voorwaardelijke verwachting van X ten opzichte van Y, een constante is.

Stochastische variabelen die niet onderling onafhankelijk zijn heten onderling afhankelijk.

Ook bij stochastische variabelen zeggen we kort dat ze (on)afhankelijk zijn in plaats van (onderling) (on)afhankelijk.

Eigenschap[bewerken]

De definitie is equivalent met de formulering: X en Y zijn onafhankelijk als voor alle x en y geldt:

\,F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)F_Y(y).

Als X en Y beide discreet zijn, kan deze formulering nog vereenvoudigd worden tot: X en Y zijn onafhankelijk als voor alle x en y geldt:

\,P(X=x \cap Y=y) = P(X=x)P(Y=y).