Ongelijkheid

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een ongelijkheid is in de wiskunde een relatie die iets zegt over de relatieve grootte van twee wiskundige objecten. Ongelijkheden berusten op de relatie "kleiner dan", genoteerd als "<", die aangeeft dat wat links van het ongelijkteken staat kleiner is dan wat rechts staat.

Definitie[bewerken]

Van twee reële getallen a en b zeggen we dat a kleiner is dan b, genoteerd als "a < b", als er een positief getal c is, zodat a + c = b.

Notatie[bewerken]

  • We schrijven in plaats van: a < b, ook: b > a, en zeggen: b is groter dan a.
  • Voor a < b of a = b, schrijven we kort: a ≤ b en zeggen: a is kleiner of gelijk aan b.
  • Voor a > b of a = b, schrijven we kort: a ≥ b en zeggen: a is groter of gelijk aan b.

Binnen de verzameling van de reële getallen kunnen we bijvoorbeeld stellen dat a> 2 of b<c. Deze ongelijkheden drukken uit dat a groter is dan 2, resp. b kleiner is dan c. De relaties < en > worden strikt genoemd, in tegenstelling tot \leq en \geq (kleiner resp. groter of gelijk aan).

  • Voor alle reële getallen a en b, is voldaan aan juist een van volgende drie mogelijkheden:
    • a < b
    • a = b
    • a > b

Om ongelijkheden in een makkelijker berekenbare vorm om te zetten, bestaan voor de basisbewerkingen enkele rekenregels:

  • Optelling en aftrekking van reële getallen a, b en c:
    • Als a < b, dan geldt: a + c < b + c en a - c < b - c
  • Vermenigvuldiging en deling van reële getallen a en b, en c ≠ 0.
    • Met c positief en a < b, geldt: ac < bc en a/c < b/c
    • Met c negatief en a < b, geldt: ac > bc en a/c > b/c
  • Eenvoudig te onthouden is dat de ongelijkheid omgedraaid wordt wanneer:
    • Men beide leden vermenigvuldigt met of deelt door een negatief getal.
    • Men beide leden omkeert: bv. a/b < c/d \implies b/a > d/c

Ongelijkheden worden theoretisch vaak gebruikt om een boven- of ondergrens te bepalen voor grootheden, die niet eenvoudig berekenbaar zijn. Belangrijkste voorbeelden uit de maattheorie zijn de driehoeksongelijkheid, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, en ongelijkheid van Hölder, in de statistiek de ongelijkheden van Markov, Chebyshev en Cramér-Rao. In de praktijk komen ongelijkheden vrijwel altijd voor om voorwaarden op te leggen aan bepaalde onbekenden bij het oplossen van een systeem vergelijkingen.