Ongelijkheid van Hadamard

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde geeft de ongelijkheid van Hadamard een bovengrens voor de absolute waarde van de determinant van een vierkante matrix. Ze is genoemd naar de Franse wiskundige Jacques Hadamard.

Formulering[bewerken]

Zij een -matrix met complexe elementen, waarvan de kolomvectoren aangeduid worden met ; dan geldt

Hierin is de Euclidische norm of "lengte" van een vector.

De ongelijkheid wordt enkel een gelijkheid indien de kolomvectoren orthogonaal zijn of indien ten minste één kolom uit nullen bestaat (dan is de determinant ook nul).

Meetkundige interpretatie[bewerken]

Wanneer de matrix uit reële getallen bestaat, kan men de bovengrens meetkundig interpreteren als het volume van de -dimensionale balk in de -dimensionale Euclidische ruimte met als zijden de lengten van de kolomvectoren .

Bewijs[bewerken]

Wanneer de matrix singulier is, is zijn determinant gelijk aan nul en gaat de ongelijkheid steeds op. We veronderstellen daarom dat de matrix M inverteerbaar is en dat zijn kolommen lineair onafhankelijk zijn. Door elke kolom te delen door zijn norm (lengte), verkrijgen we een matrix N met eenheidsvectoren als kolomvectoren. Daarvan is

en de gelijkheid geldt dan en slechts dan wanneer de kolomvectoren een orthonormale basis vormen, dus wanneer de matrix een unitaire matrix is. Vermits wanneer een kolom van een matrix met een factor vermenigvuldigd wordt, de determinant ook met die factor wordt vermenigvuldigd, volgt hieruit voor de matrix M:

Alternatieve vorm[bewerken]

Als B een bovengrens is van de elementen van de n-bij-n matrix M, zodat |Mij| ≤ B voor alle i en j van 1 tot n, dan kan men de ongelijkheid schrijven als

Immers de lengte van een kolomvector is kleiner dan of gelijk aan of .

In het bijzondere geval waarin alle elementen van M +1 of -1 zijn, is B = 1 en de lengte van de kolomvectoren van M kleiner dan of gelijk aan , zodat

Matrices waarvoor deze ongelijkheid een gelijkheid wordt, noemt men Hadamardmatrices. Dit zijn matrices met als elementen +1 of -1 en waarvan de kolommen onderling orthogonaal zijn.

Positief-semidefiniete matrix[bewerken]

Voor een positief-semidefiniete matrix P geldt:

De determinant is kleiner dan of gelijk aan het product van de elementen op de diagonaal. Deze ongelijkheid noemt men soms ook de ongelijkheid van Hadamard.[1]

Men kan deze ongelijkheid afleiden uit het gegeven dat het Hadamardproduct van de n-bij-n-eenheidsmatrix I met de matrix P een diagonaalmatrix is met de diagonaalelementen van P op de diagonaal. De determinant daarvan is gelijk aan het product van deze diagonaalelementen. Vermits I ook positief-semidefiniet is en de determinant van I gelijk is aan 1, volgt uit de ongelijkheid van Oppenheim:

dat