Ophefbare singulariteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de complexe analyse is een ophefbare singulariteit (soms verwijderbare singulariteit genoemd) van een holomorfe functie een punt waarin deze functie ongedefinieerd is, maar waarin zij zo gedefinieerd kan worden dat zij holomorf blijft op het met dit singuliere punt uitgebreide domein.

De functie

bijvoorbeeld heeft een singulariteit in . Deze singulariteit kan worden opgeheven door te definiëren. De resulterende functie, aangeduid als , is een continue, in feite holomorfe functie.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Als een open deelverzameling van het complexe vlak is, een punt van is en een holomorfe functie is, dan wordt een ophefbare singulariteit voor genoemd, indien er een holomorfe functie bestaat, die samenvalt met op . In dat geval heet holomorf uitbreidbaar in .

Stelling van Riemann[bewerken | brontekst bewerken]

De stelling van Riemann geeft aan wanneer een singulariteit ophefbaar is.

Stelling[bewerken | brontekst bewerken]

Zij , en als in de bovenstaande definitie. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:

  1. is holomorf uitbreidbaar in het punt .
  2. is continu uitbreidbaar in .
  3. is begrensd in een omgeving van .
  4. .
Bewijs

Gemakkelijk is in te zien dat: 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4). Voor het bewijs van 4) ⇒ 1) bedenken we dat het voldoende is aan te tonen dat analytisch is in , dat wil zeggen dat een machtreeksontwikkeling heeft in . We definiëren daartoe:

Dan is:

,

waarin , volgens 4), een continue functie is op . Dus is holomorf op en heeft een Taylorreeksontwikkeling rond :

Maar dan is een holomorfe uitbreiding van in .

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]