Orde (groepentheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, wordt de term orde gebruikt in twee nauw verwante betekenissen:

  • de orde van een groep is gelijk aan de kardinaliteit, dat wil zeggen het aantal elementen van de groep;
  • de orde, soms periode, van een element a van een groep is het kleinste positieve gehele getal m, zodat am = e (waar e voor het neutrale element van de groep staat, en waar am staat voor de binaire operatie van m exemplaren van a). Als zo'n m niet bestaat, zeggen we dat a een oneindige orde heeft. Alle elementen van eindige groepen zijn van een eindige orde.

We geven de orde van een groep G aan door de notatie ord(G) of |G| en de orde van een element a door ord(a) of |a|.

Voorbeeld[bewerken]

De symmetrische groep S3 heeft de onderstaande vermenigvuldigingstafel.

e s t u v w
e e s t u v w
s s e v w t u
t t u e s w v
u u t w v e s
v v w s e u t
w w v u t s e

Deze groep heeft zes elementen, zodat ord(S3) = 6. Per definitie is de orde van de identiteit, e, gelijk aan 1.

Elke s, t, en w kwadrateert tot e, dus hebben deze groepelementen een orde 2.

Zowel u en v hebben een orde 3, aangezien u2 = v en u3 = vu = e, en v2 = u en v3 = uv = e.