Ordinaalgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een ordinaalgetal of ordinaal geeft de positie van een element in een rij van elementen aan.

De ordinaalgetallen vormen een uitbreiding van de natuurlijke getallen. Eindige ordinaalgetallen zijn natuurlijke getallen, 0,1,2... Het eerste oneindige ordinaalgetal is \omega. Ordinaalgetallen werden in 1897 door Georg Cantor[1] ingevoerd om oneindige rijen te accommoderen en om aan te kunnen geven hoe geordende verzamelingen zich tot elkaar verhouden[2].

In de verzamelingenleer is een ordinaalgetal (of gewoon een ordinaal) het ordetype van een welgeordende verzameling. Ordinalen worden meestal geïdentificeerd met erfelijke transitieve verzamelingen. Ordinalen zijn een uitbreiding van de natuurlijke getallen, die echter zowel van de gehele getallen en van de kardinaalgetallen verschillen. Net als andere soorten getallen kunnen ordinalen worden opgeteld, vermenigvuldigd, en geëxponentieerd. De eindige ordinalen (en de eindige kardinalen) zijn de natuurlijke getallen: 0, 1, 2, ..., dit aangezien elke twee totaalordeningen van een eindige verzameling orde-isomorf zijn.

De minst oneindige ordinaal is ω, welk ordinaalgetal wordt geïdentificeerd met het kardinaalgetal \aleph_0. Maar in de transfiniete geval, verder dan ω, maken ordinaalgetallen op grond van hun orde-informatie een fijner onderscheid dan kardinalen. Terwijl er slechts een aftelbare oneindige kardinaal, namelijk \aleph_0 zelf is, zijn er ontelbaar vele aftelbare oneindige ordinalen, namelijk

ω, ω + 1, ω + 2, ..., ω · 2, ω·2 + 1, ..., ω2, ..., ω3, ..., ωω, ..., ωωω, ..., ε0, ...

en zo verder. Hier zijn optellen en vermenigvuldigen niet commutatief: in het bijzonder is "1 + ω" gelijk aan ω en niet aan "ω + 1", terwijl "2·ω" gelijk is aan ω en niet aan "ω·2".

De verzameling van alle aftelbare ordinaalgetallen vormt de eerste onaftelbare ordinaal, ω1, die wordt geïdentificeerd met de kardinaal \aleph_1 (de eerstvolgende kardinaal na \aleph_0). Welgeordende kardinalen worden geïdentificeerd met hun initiële ordinalen, dat wil zeggen de kleinste ordinaal van die kardinaliteit. De kardinaliteit van een ordinaalgetal definieert een "een" op "meer" associatie van kardinalen naar ordinalen.

In het algemeen heeft elk ordinaal α het ordetype van de verzameling van ordinalen die strikt genomen kleiner zijn dan α zelf. Deze eigenschap laat toe dat elke ordinaal kan worden weergegeven als een verzameling van alle ordinalen kleiner dan zichzelf. Ordinale kunnen als volgt worden gecategoriseerd: nul, opvolgerordinalen, en limietordinalen (van verschillende cofinaliteiten). Gegeven een klasse van ordinalen, kan men het α-ste lid van die klasse identificeren, dat wil zeggen dat men de ordinalen in deze klasse kan indexeren (tellen). Een klasse is gesloten en onbegrensd als haar indexeringsfunctie continu is en nooit stopt.

De Cantor-normaalvorm geeft elke ordinaal uniek weer als een eindige som van ordinaalmachten van ω. Dit kan echter niet de basis vormen voor een universele ordinaalnotatie, dit als gevolg van zulke zelf-referentiële weergaven als \epsilon_0 = \omega^{\epsilon_0}. Grotere en grotere ordinalen kunnen worden gedefinieerd, maar ze worden steeds moeilijker te beschrijven. Elke ordinaal kan worden omgezet in een topologische ruimte door de ordinaal uit te rusten met een ordetopologie; deze topologie is slechts dan en slechts dan discreet als de ordinaal tevens een telbaar kardinaalgetal is, wat wil zeggen voor de meeste ω. Een deelverzameling van ω + 1 is open in de ordetopologie dan en slechts dan als deze deelverzameling cofiniet is of wanneer element ω er zelf geen deel van uitmaakt.

Formele definitie[bewerken]

De formele definitie van een ordinaalgetal maakt gebruik van welgeordende verzamelingen en beginsegmenten.

  • Een welgeordende verzameling is een paar (X,\leq) waarbij X een verzameling is, en  \leq een welgefundeerde totale orde. Dit houdt in dat elke niet-lege deelverzameling een kleinste element heeft (welgefundeerd) en dat de orde alle elementen van de verzameling beslaat (totaal).
  • Een beginsegment van een welgeordende verzameling is een verzameling  X_a = \{x \in X|x<a\}.
  • Een ordinaal is een welgeordende verzameling (X,\leq) zo dat a = X_a voor alle a in X.

Merk op dat een ordinaal opgebouwd is uit steeds groter beginsegmenten, die steeds in elkaar bevat zijn. Zodoende zijn de eerste eindige ordinaalgetallen al volgt: (waarbij ∅ staat voor de lege verzameling)

  • 0 = ∅
  • 1 = {0} = {∅}
  • 2 = {0,1} = {∅, {∅}}
  • 3 = {0,1,2} = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}
  • enz.

Een ordinaal wordt dus bepaald door zijn positie ten opzichte van voorgaande ordinalen.

Successor- en limietordinalen[bewerken]

Gegeven een ordinaal \alpha kan altijd een nieuw ordinaal \alpha \cup \{\alpha\} gevonden worden. Dit is de eerstvolgende ordinaal, en wordt successorordinaal genoemd, en genoteerd met \alpha + 1.

Ordinalen die niet een opvolger van een ordinaal zijn worden limietordinalen genoemd. Een limietordinaal wordt gegeven door het supremum van de verzameling van alle kleinere ordinalen. Een voorbeeld van een limietordinaal is \omega, de ordinaal van de natuurlijke getallen.

Operaties op ordinalen[bewerken]

Optellen en vermenigvuldigen op ordinalen is als volgt gedefinieerd:

  • Optellen van 2 ordinalen:
\alpha + \beta = \mbox{Ord}(A,<_A)
met
A = (\alpha \times \{0\}) \cup (\beta \times \{1\})
en
(\nu, i)<_A(\tau, j) \leftrightarrow (i<j) \vee (i=j \wedge \nu < \tau)
  • Som (algemeen):
\sum_{\eta<\lambda}\alpha_{\eta} = \mbox{Ord}(A,<_A)
met
A = \bigcup_{\xi<\lambda}(\alpha_\xi \times \{\xi\})
en
(\nu, \xi)<_A(\nu',\xi' ) \leftrightarrow (\xi<\xi') \vee (\xi=\xi' \wedge \nu < \nu')
  • Vermenigvuldigen:
\alpha \cdot \beta = \sum_{\xi<\beta} \alpha

Merk op dat zowel optellen als vermenigvuldigen niet commutatief is. Zo is bijvoorbeeld

\omega + 1 \neq 1+ \omega
want
1+ \omega = \omega en \omega + 1 >\omega .
En
2 \cdot \omega = \omega terwijl \omega \cdot 2 = \omega + \omega >\omega
Bronnen, noten en/of referenties

Voetnoten

  1. Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. II (vert.: Bijdragen aan de grondslagen van de theorie van de transfiniete getallen II), Mathematische Annalen 49 (1897), 207-­246. Vertaling in het Engels. Citaat uit Akihiro Kanamori, Set Theory from Cantor to Cohen (Verzamelingenleer van Cantor tot Cohen)
  2. Voor diepgaande inleidingen zie Levy (1979) en Sacks (2003)

Externe bron

  • (en) Devlin, K., 1979. The joy of sets. Springer, New York