Orthogonale groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is de orthogonale groep van graad over een lichaam (Ned) / veld (Be) , geschreven als , de groep van alle isometrieën in de -dimensionale ruimte die de oorsprong als dekpunt hebben.

Deze komt overeen met de groep van -orthogonale matrices met ingegeven waardes uit , waar de groepsbewerking die van de matrixvermenigvuldiging is. Dit is een ondergroep van de algemene lineaire groep gegeven door

waarin de getransponeerde van is. De klassieke orthogonale groep over de reële getallen wordt meestal als geschreven.

Meer in het algemeen is de orthogonale groep van een niet-singuliere kwadratische vorm over de groep van matrices die deze kwadratische vorm bewaart. De stelling van Cartan-Dieudonné beschrijft de wiskundige structuur van de orthogonale groep.

Elke orthogonale matrix heeft een determinant die of gelijk is aan 1 of gelijk is aan −1. De orthogonale -matrices met determinant 1 vormen een normaaldeler van , die bekendstaat als de speciale orthogonale groep . Als de karakteristiek van gelijk is aan 2, dan geldt dat 1 = −1, en vallen en dus samen, anders is de nevenklasse van in gelijk aan 2. In karakteristiek 2 en met even dimensie, definiëren vele auteurs alternatief als de kern van de Dickson-invariant; dan heeft het meestal index 2 in .

Zowel als zijn algebraïsche groepen, omdat de voorwaarde dat een matrix orthogonaal moet zijn, dat wil zeggen dat een matrix zijn eigen getransponeerde als inverse moet hebben, kan worden uitgedrukt als een verzameling van polynomiale vergelijkingen in de ingevoerde waarden van de matrix.

Externe links[bewerken | brontekst bewerken]