Orthonormale basis

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra heet een basis van een vectorruimte, bestaande uit de vectoren , een orthonormale basis, als de basis een orthonormaal stelsel is. Dat houdt in dat de vectoren uit de basis onderling orthogonaal zijn en elk de lengte 1 heeft. Er geldt dus dat voor elke en :

als

Anders geformuleerd: (de Kronecker-delta).

In deze relaties wordt met het inwendig product aangeduid.

Voorbeelden[bewerken]

De vectoren {(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)} vormen een orthonormale basis van de 3D-ruimte
  • {(1,0),(0,1)} is een orthonormale basis van met optelling en scalair product. Algemener is de standaardbasis {(1,0,0, ... ),(0,1,0,0, ... ), ...,(0,0, ...,1)} van met optelling en scalair product orthonormaal.
  • Het stelsel {fn : nZ} , met vormt een orthonormale basis van de vectorruimte van de periodieke functies met periode en als inwendig product:
Deze eigenschap wordt gebruikt bij de fourieranalyse.

Eigenschappen[bewerken]

De Gram-Schmidtmethode geeft een directe methode om een willekeurige basis om te vormen tot een orthonormale basis.

De kolommen (en rijen) van een n-dimensionale, orthogonale transformatie vormen een orthonormale basis van vectoren voor .

Toepassing[bewerken]

Elke vector van een vectorruimte met basis S heeft unieke coördinaten tegenover die basis. Indien de basis daarenboven orthonormaal is, kunnen die coördinaten afzonderlijk berekend worden door middel van het geldende inproduct. Men kan aantonen dat de i-de coördinaat van een vector u ten opzichte van de orthonormale basis gelijk is aan het inproduct van de u met de i-de basisvector: