Orthonormale basis

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra heet een basis van een vectorruimte, bestaande uit de vectoren , een orthonormale basis, als de basis een orthonormaal stelsel is. Dat houdt in dat de vectoren uit de basis onderling orthogonaal zijn en elk de lengte 1 heeft. Er geldt dus dat voor elke en :

als

Anders geformuleerd: (de Kronecker-delta).

In deze relaties wordt met het inwendig product aangeduid.

Voorbeelden[bewerken]

De vectoren {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} vormen een orthonormale basis van de 3D-ruimte
  • is een orthonormale basis van de ve torruimte . Heel algemeen is de standaardbasis van de vectorruimte orthonormaal.
  • Het stelsel functies , met vormt een orthonormale basis van de vectorruimte van de periodieke functies met periode en als inwendig product:
Deze eigenschap wordt gebruikt bij de fourieranalyse.

Eigenschappen[bewerken]

De Gram-Schmidtmethode geeft een directe methode om een willekeurige basis om te vormen tot een orthonormale basis.

De kolommen (en rijen) van een n-dimensionale, orthogonale transformatie vormen een orthonormale basis van vectoren voor .

Toepassing[bewerken]

Elke vector van een vectorruimte met basis heeft unieke coördinaten ten opzichte van die basis. Indien de basis daarenboven orthonormaal is, kunnen die coördinaten afzonderlijk berekend worden door middel van het geldende inproduct. Men kan aantonen dat de -de coördinaat van een vector ten opzichte van de orthonormale basis gelijk is aan het inproduct van met de -de basisvector: