Padé-benadering

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Padé-benadering van een analytische functie met Taylorreeks is een rationale functie die benadert door een zo goed mogelijke overeenkomst met de eerste termen van de Taylorreeks.

Definitie en berekening[bewerken]

De Padé-benadering van is een rationale functie , waarin

en zijn veeltermen van ten hoogste graad m respectievelijk n. De Maclaurin-expansie van deze rationale functie moet exact overeenkomen met tot en met de macht m+n. Ze moet dus voldoen aan de asymptotische relatie

zijn termen met exponenten groter dan of gelijk aan m+n+1. Deze resttermen verwaarloost men zodat

Uit deze vergelijking is het mogelijk om de coëfficiënten en te bepalen, door de coëfficiënten van de veeltermen in het linker- en rechterlid tot macht m+n gelijk te stellen. De termen met machten groter dan m+n worden genegeerd. Dit levert een stelsel van m+n+1 lineaire vergelijkingen op met m+n+2 onbekenden en . Dit betekent dat het stelsel oneindig veel oplossingen heeft. Gewoonlijk eist men daarom dat , of met andere woorden dat . Dan is er een unieke oplossing van het stelsel

waarbij als verondersteld is.

Tabel van Padé[bewerken]

Mits de aanname van de "normaalvorm" is er een unieke Padé-benadering voor elke waarde van m en n. Men kan bijgevolg een tabel maken waarin alle Padé-benaderingen zijn opgelijst. Die noemt men een Padé-tabel, hoewel het principe reeds door Ferdinand Georg Frobenius werd geformuleerd. Henri Padé werkte de theorie verder uit in zijn doctoraatsthesis Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles uit 1892 en in talrijke latere artikelen.

Voorbeeld[bewerken]

Als voorbeeld volgt hier het begin van de Padé-tabel voor de exponentiële functie met als reeksontwikkeling:

Padé-tabel m = 0 1 2 3
n = 0
1
2
3

Om bijvoorbeeld de Padé-benadering te berekenen moeten we deze vergelijking oplossen:

Dit levert het volgende stelsel op:


De oplossing hiervan is:

De Padé-tabel heeft een aantal kenmerken:

  • De eerste rij, met de benaderingen bestaat uit de opeenvolgende afkappingen (partiële sommen) van de Taylorreeks van de functie . Deze convergeert naar en dat geldt ook voor de volgende rijen; algemeen is voor een willekeurige k.
  • De eerste kolom, met de benaderingen bestaat uit de reciproken van de opeenvolgende afkappingen van de Taylorreeks van . Dit geldt algemeen: als de (m,n)-Padébenadering is van , dan is de (n,m)-Padébenadering van
  • De benaderingen en vertonen symmetrie: de tellers en noemers zijn verwisseld, en het patroon van plus- en mintekens is anders, maar ze bevatten dezelfde coëfficiënten.
  • De Padé-benaderingen op de hoofddiagonaal van de tabel bevatten, op het teken na, dezelfde coëfficiënten in teller en noemer. Deze kunnen zeer efficiënt berekend worden met een computeralgoritme.

Van elke formele machtreeks (die niet hoeft te convergeren) kan een Padé-tabel opgemaakt worden. Daarvoor zijn verschillende methoden ontwikkeld, waaronder het quotient difference-algoritme en technieken die gebruikmaken van het enge verband tussen de Padé-tabel en kettingbreukexpansies van de machtreeks.[1][2] Er bestaan diverse relaties tussen naast elkaar liggende elementen uit de Padé-tabel die men kan gebruiken om de tabel stap voor stap op te bouwen.

Toepassingen[bewerken]

Rationale benaderingen van het Padé-type kennen vele toepassingen in diverse takken van zuivere en toegepaste wiskunde, zoals de berekening van speciale functies, inversie van Laplace-transformatie, differentiaalvergelijkingen of getaltheorie. Vele oplossingen van problemen uit de fysica, scheikunde, mechanica enz. zijn geformuleerd als een machtreeks die moet gesommeerd worden, maar waarvan slechts weinig coëfficiënten gekend zijn. Hier zijn rationale benaderingen goed bruikbaar.[3]

Externe links[bewerken]