Paretoverdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De paretoverdeling is een continue kansverdeling genoemd naar de Italiaanse econoom Vilfredo Pareto.

De verdeling is van toepassing op een groot aantal praktijksituaties. De verdeling wordt ook wel bradfordverdeling genoemd. Oorspronkelijk gebruikte Pareto deze verdeling als model voor de verdeling van rijkdom. Het paretoprincipe, bekend als de "80-20"-regel, zegt dat 20% van de bevolking 80% van de rijkdom bezit. De paretoverdeling is geschikt om zo'n situatie te beschrijven. Het principe is ook op andere situaties van toepassing, zoals:

  • de frequentie van de woorden in tekst (slechts een klein aantal woorden vormt het grootste deel van de tekst)
  • de omvang van menselijke nederzettingen.
  • de grootte van bedrijven (een klein aantal grote bedrijven, een groot aantal kleine).

Definitie[bewerken]

De paretoverdeling met parameters a>0 en λ>0 is een continue kansverdeling, gedefinieerd voor x>a en waarvan de overschrijdingskansen gegeven worden door:

P(X>x)=\left(\frac ax\right)^\lambda.

De verdelingsfunctie wordt dus voor x>a gegeven door:

F(x;a,\lambda)=P(X\le x)=1-\left(\frac ax\right)^\lambda

en de kansdichtheid voor x>a door:

f(x;a,\lambda)=\left(\frac{\lambda}{a}\right)\left(\frac ax\right)^{\lambda+1}.

Daarin is X een toevalsvariabele met de bedoelde verdeling.

Verwachtingswaarde en variantie[bewerken]

De verwachtingswaarde \mu van de Pareto-verdeling is:

\mu =
\begin{cases}\displaystyle
 a \frac{\lambda}{\lambda-1} & \lambda > 1\\
 \infty & \lambda \leq 1
\end{cases}.

en de variantie:

\sigma^2 =
\begin{cases}\displaystyle
 a^2 \frac{\lambda}{(\lambda-1)^2(\lambda-2)} & \lambda > 2 \\
 \infty & \lambda \leq 2
\end{cases}.

Verband met de exponentiële verdeling[bewerken]

De paretoverdeling staat in direct verband met de exponentiële verdeling. Als de stochastische variabele X exponentieel verdeeld is met parameter λ, heeft e^X een paretoverdeling met parameters a=1 en λ, immers, voor y>1 is:

P(e^X<y)=P(X\le \log(y))=1-e^{-\lambda \log(y)}=1-\left(\frac 1y\right)^\lambda

Een paretoverdeling met een parameter a ≠ 1 staat op analoge wijze in verband met een opgeschoven exponentiële verdeling.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]