Partitie (verzamelingenleer)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Partitie van een verzameling in zes delen weergegeven door een Euler-diagram

In de verzamelingenleer is een partitie van een verzameling een opdeling van in niet-lege onderling disjuncte delen. De elementen van een partitie zijn verzamelingen, dus zijn partities klassen. De verzamelingen, die samen een partitie van vormen, mogen niet leeg zijn, hun onderlinge doorsnede is steeds de lege verzameling en hun vereniging is . Een partitie is een familie van deelverzamelingen. De deelverzamelingen, die element van dezelfde partitie zijn, worden ook wel de klassen binnen die partitie genoemd.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een partitie van een verzameling is een familie van deelverzamelingen van , die voldoet aan:

  • : geen van de deelverzamelingen in de familie is leeg;
  • voor alle verschillende deelverzamelingen is : de familie bestaat uit onderling disjuncte deelverzamelingen;
  • : de deelverzamelingen in vormen gezamenlijk heel .

Aantal[bewerken | brontekst bewerken]

Het aantal partities van een verzameling van elementen wordt gegeven door het -de getal van Bell . Voor kleine zijn dat, te beginnen met :

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

Zij dan is een partitie van . De familie is geen partitie van , omdat de leden niet onderling disjunct zijn en is geen partitie, omdat de vereniging van de leden niet heel oplevert.

Het paar bestaande uit enerzijds de verzameling van de even getallen, en anderzijds de verzameling van de oneven getallen, vormt een partitie van de verzameling van de gehele getallen. Algemener vormen de restklassen bij deling door een natuurlijk getal een partitie van .

De lege familie is de enige partitie van de lege verzameling.

Als een equivalentierelatie is op een verzameling , dan vormen de equivalentieklassen van samen een partitie van . De verzamelingen, die element zijn van een bepaalde partitie, kunnen omgekeerd als de equivalentieklassen van een equivalentierelatie worden geïnterpreteerd. Er is dus een bijectie tussen de partities van een verzameling en de equivalentierelaties op .

Websites[bewerken | brontekst bewerken]