Partitie (verzamelingenleer)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een partitie van een verzameling in zes delen weergegeven door een Euler-diagram

In de verzamelingenleer is een partitie van een verzameling, een opdeling van die verzameling in niet-lege onderling disjuncte delen. De onderdelen van een partitie zijn niet leeg, bevatten geen gezamenlijke elementen en vormen samen de hele verzameling. Men spreekt wel van een opdeling in klassen.

Definitie[bewerken]

Zij \mathcal{P}\subset2^A een familie deelverzamelingen van A, dan is \mathcal{P} een partitie van A als:

  1. \emptyset\notin\mathcal{P}
  2. \forall D,E\in\mathcal{P}:D\neq E\implies D\cap E=\emptyset
  3. \cup\mathcal{P}=A

De elementen van \mathcal{P} zijn de klassen of blokken van de partitie.

Voorbeelden[bewerken]

Zij A=\{1,2,3,4\} dan is \{\{1,2\},\{3\},\{4\}\} een partitie van A. De familie \{\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\}\} is geen partitie omdat de leden niet onderling disjunct zijn. De familie \{\{1\},\{3\},\{4\}\} is geen partitie van A omdat de vereniging van de leden niet heel A oplevert.

Het paar bestaande uit enerzijds de verzameling der even getallen, en anderzijds de verzameling der oneven getallen, vormt een partitie van de verzameling \mathbb{Z} der gehele getallen. Algemener vormen de restklassen bij deling door een natuurlijk getal n>0, een partitie van \mathbb{Z}.

De lege familie is de enige partitie van de lege verzameling.

Als R een equivalentierelatie is op een verzameling A, dan vormen de equivalentieklassen samen een partitie van A. Ook kan elke partitie op deze manier geïnterpreteerd worden, door als relatievoorschrift "ligt in dezelfde klasse" te nemen.

Zie ook[bewerken]