Permutatiegroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiegroep een groep G, waarvan de elementen permutaties van een gegeven verzameling M zijn. De groepsbewerking in een permutatiegroep is de samenstelling van de permutaties in G van de elementen in M. Het aantal elementen n in M is een belangrijke parameter voor de gekozen permutatiegroep G.

Voor M kan een geordende rij met n plaatsen worden genomen, maar bijvoorbeeld ook de n hoekpunten van een figuur in het platte vlak of van een ruimtelijke figuur.

Merk op dat de groep van alle permutaties van een verzameling de symmetrische groep is. De symmetrische groep van n elementen wordt aangeduid met Sn; de groep van alle permutaties van M kan ook worden geschreven als Sym(M). Omdat iedere permutatiegroep de n elementen van een verzameling M permuteert, is iedere permutatiegroep te zien als een ondergroep van de symmetrische groep Sn.

De toepassing van een permutatiegroep op de elementen, die worden verwisseld, wordt een groepsbewerking genoemd; de permutatiegroep kent toepassingen in zowel de studie van symmetrieën, de combinatoriek en vele andere takken van de wiskunde, natuurkunde en de scheikunde.

De eigenschappen van een permutatiegroep[bewerken]

Net zoals alle andere groepen moet een permutatiegroep voldoen aan de groepsaxioma's: de permutatie, die de identiteit is, moet element van de groep zijn, de inverse permutatie van iedere permutatie moet element zijn en de permutatiegroep moet gesloten zijn onder de samenstelling van zijn permutaties.

Voorbeelden[bewerken]

Permutaties worden vaak in cyclische vorm geschreven, bijvoorbeeld tijdens cykelindex berekeningen, zodat gegeven de verzameling M = {1,2,3,4}, een permutatie g van M met g(1) = 2, g(2) = 4, g(4) = 1 en g(3) = 3 zal worden geschreven als (1 2 4)(3), of ook als, (1 2 4) aangezien 3 ongewijzigd blijft.

Beschouw de volgende verzameling G van permutaties van de verzameling M = {1,2,3,4}:

  • e = (1) (2) (3) (4)
    • Dit is de identieke afbeelding, de triviale permutatie die elk element op zijn eigen plaats houdt.
  • a = (1 2) (3) (4) = (1 2)
    • Deze permutatie verwisselt 1 en 2, en houdt 3 en 4 op zijn plaats.
  • b = (1) (2) (3 4) = (3 4)
    • Zoals de vorige, maar nu verwisselen 3 en 4 van plaats en blijven 1 en 2 op zijn plaats.
  • ab = (1 2) (3 4)
    • Deze permutatie is de samenstelling van de twee voorgaande permutaties, zowel 1 en 2 als 3 en 4 verwisselen van plaats.

De Rubiks kubus puzzel is een ander voorbeeld van een permutatiegroep. Iedere rotatie van één van de vlakken van de kubus is een element in de permutatiegroep van de Rubiks kubus, zij vormen de genererende verzameling van de permutatiegroep van de Rubiks kubus. Niet alle mogelijke denkbare kubusposities kunnen door de toegestane rotaties van de kubus worden bereikt.

Volgens de stelling van Cayley is iedere groep isomorf met een permutatiegroep.

Isomorfismen[bewerken]

Als G en H twee permutatiegroepen op dezelfde verzameling M zijn, dan zegt men dat G en H isomorf als permutatiegroepen zijn als er een bijectieve afbeelding f : MM bestaat, zodanig dat Rf-1 o r o f een bijectieve afbeelding definieert tussen G en H; met andere woorden, als voor ieder element g in G er een unieke hg in H bestaat, zodanig dat voor alle x in M, (g o f)(x) = (f o hg)(x). Dit is equivalent aan het geconjugeerd zijn van G en H als deelgroepen van Sym(M). In dit geval zijn G en H ook isomorf als groepen.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • (en) John D. Dixon en Brian Mortimer, Permutation Groups. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1996.
  • (en) Peter Cameron, Permutation Groups. LMS Student Text 45. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.