Piet Weppner was de zoon van Willem Frederik Weppner en Johanna Geertruida van Raamsdonk. Hij trouwde op 16 november 1938 met Dorotea Wallert en had twee zonen.[2]
Hij speelde van 1935 tot 1944 bij AFC Ajax als doelman. Van zijn debuut in het kampioenschap op 2 juni 1935 tegen Go Ahead tot zijn laatste wedstrijd op 13 februari 1944 tegen 't Gooi speelde Weppner in totaal 13 wedstrijden in het eerste elftal van Ajax.[3][4]