Poincaré-groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de natuurkunde en groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Poincaré-groep, vernoemd naar Henri Poincaré, de groep van isometrieën van Minkowski-ruimtetijd. Het is een 10-dimensionale niet-compacte Lie-groep. De abelse groep van translatie is een normale deelgroep, terwijl de Lorentz-groep een deelgroep is, de "stabilisator" van een punt. Dat wil zeggen dat de volledige Poincaré-groep de affiene groep van de Lorentz-groep is, het semidirecte product van de translaties van de Lorentztransformaties:

\mathbf{R}^{1,3} \rtimes O(1,3).\,

Een andere manier om de Poincaré-groep te beschrijven is een groepsuitbreiding van de Lorentz-groep door een vector vertegenwoordiging van de Poincaré-groep.

Haar positieve energie unitaire onherleidbare representaties worden geïndexeerd door massa (niet-negatief getal) en spin (geheel getal of half geheel getal), die worden geassocieerd met deeltjes in de kwantummechanica.

In overeenstemming met het Erlanger Programm, wordt de meetkunde van de Minkowski-ruimte gedefinieerd door de Poincaré-groep: De Minkowski-ruimte wordt beschouwd als een homogene ruimte voor de groep.

De Poincaré-algebra is de Lie-algebra van de Poincaré-groep. In componentenvorm wordt het Poincaré-algebra gegeven door de commutatie relaties:

  • [P_\mu, P_\nu] = 0\,
  • [M_{\mu\nu}, P_\rho] = \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\,
  • [M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\,

waar P de generator van translaties, M de generator van de Lorentz-transformaties en \eta de Minkowski-metriek is (zie tekenconventie).

De Poincaré-groep is de volledige symmetriegroep van een relativistische veldtheorie. Als gevolg daarvan vallen alle elementair deeltjes in de representaties van deze groep. Deze worden meestal gespecificeerd door het vier-momentum van elk deeltje (dat wil zeggen haar massa) en de intrinsieke kwantumgetallen JPC, waar J het spinkwantumgetal, P de pariteit en C het ladingconjugatie kwantumgetal is. Veel kwantumveldtheorieën schenden de pariteit en de ladingconjugatie. In die gevallen laat men de P en de C vallen. Aangezien CPT een invariantie van elke kwantumveldentheorie is, zou een tijdsomkeringskwantumgetal gemakkelijk geconstrueerd kunnen worden uit deze gegeven mogelijkheden.

Als een topologische ruimte heeft de Poincaré-groep vier samenhangende componenten: de component van de identiteit; de tijdomdraaiingcomponent; de ruimtelijke inversie component; en de component die zowel de tijd als de ruimte omdraait.

Poincaré-symmetrie[bewerken]

Poincaré-symmetrie is de volledige symmetrie van de speciale relativiteitstheorie en omvat

De laatste twee symmetrieën vormen samen de Lorentz-groep (zie Lorentzinvariantie). Dit zijn de generatoren van een Lie-groep, die de Poincaré-groep wordt genoemd, een semidirect product van de groep van translaties en de Lorentz-groep. Van objecten die onder deze groep invariant zijn, wordt gezegd dat zij een Poincaré-invariantie of relativistische invariantie vertonen.

Zie ook[bewerken]