Poissonproces

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de stochastiek is een poissonproces een telproces met onafhankelijke aangroeiingen die poissonverdeeld zijn en wel zodanig dat de parameter evenredig is met de lengte van het tijdsinterval. De evenredigheidsconstante wordt de intensiteit van het proces genoemd. De term poissonproces stamt van de onderliggende poissonverdeling, genoemd naar de Franse wiskundige Siméon Poisson, die overigens zelf nooit poissonprocessen heeft bestudeerd.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Het stochastische proces , in continue tijd , heet een poissonproces met intensiteit als het voldoet aan:

  1. is poissonverdeeld met parameter
  2. voor alle en alle zijn de aangroeiingen onderling onafhankelijk

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Uit de eisen 3 en 4 volgt dat voor alle de aangroeiing poissonverdeeld is met parameter .

De verwachtingswaarde is: .

De variantie is: .

De covariantie voor is: .

De correlatie wordt voor gegeven door de coëfficiënt: .

Een poissonproces met intensiteit is een geboorte- en sterfteproces zonder sterfte, dus met voor alle en een constante geboorte-intensiteit . De geboorten in het interval zijn gegeven het aantal uniform verdeeld op het interval. Voor het tijdstip van de -de geboorte geldt:

Voor de tijd tussen twee geboorten, de tussenaankomsttijd, volgt dan:

De tussenaankomsttijd is dus exponentieel verdeeld met parameter .