Negatief-binomiale verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Polya-verdeling)

In de kansrekening is de negatief-binomiale verdeling een discrete kansverdeling die de kansen geeft op de benodigde aantallen onafhankelijke pogingen met steeds kans op succes, om een vastgelegd aantal successen te behalen.

In een serie onafhankelijke bernoulli-pogingen met succeskans is bij het wachten op het eerste succes het benodigde aantal experimenten geometrisch verdeeld. Gaat men door tot men successen heeft, dan is het aantal benodigde experimenten, , een stochastische variabele met als verdeling de negatief-binomiale verdeling, waarvan de kansfunctie voor gegeven wordt door:

Eenvoudig is in te zien dat deze kans ontstaat doordat er m successen moeten zijn, elk met kans , en van de pogingen die aan het laatste succes voorafgaan er mislukkingen, elk met kans . De binomiaalcoëfficiënt geeft het aantal mogelijkheden voor de verdeling van de successen over de pogingen voorafgaand aan de laatste.

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Beschouw een gewone dobbelsteen, die herhaaldelijk geworpen wordt tot voor de 10e keer "1" verschijnt. Het benodigde aantal worpen is negatief-binomiaal verdeeld met parameters en succeskans , en waardenbereik {10, 11, 12, ...}.

Verwachtingswaarde en variantie[bewerken | brontekst bewerken]

De verwachtingswaarde en de variantie van een negatief-binomiaal verdeelde stochastische variabele met parameters en zijn:

Speciaal geval[bewerken | brontekst bewerken]

De geometrische verdeling is een speciaal geval van de negatief-binomiale verdeling, met parameter m = 1.