Poolverwantschap (kegelsnede)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de vlakke meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, beschrijft poolverwantschap ten opzichte van een kegelsnede een wederkerige relatie tussen punten, de polen, en lijnen, de poollijnen. Die relatie is invariant voor elke projectieve transformatie van het vlak.

Pool en poollijn[bewerken | brontekst bewerken]

is poollijn van , van en van

Bij een gegeven een punt en een gegeven kegelsnede wordt de lijnenbundel door bekeken, en meer specifiek de lijnen uit die lijnenbundel die snijden. Op deze lijnen wordt de harmonische verwante van gekozen bij de snijpunten met . Deze harmonische verwanten zijn collineair; de dragende lijn heet de poollijn van . Andersom heet het punt de pool van . Deze definitie blijft geldig als de kegelsnede ontaard is in snijdende of evenwijdige rechten. Elke rechte kan beschouwd worden als poollijn van een dubbelpunt van een ontaarde kegelsnede.

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

is poollijn van , en van
  • De poollijn van een punt dat gelegen is op een lijn l, gaat door de pool van l.
  • De pool van een lijn l die gaat door een punt , ligt op de poollijn van .
  • Als op de poollijn van ligt, dan ligt op de poollijn van .
  • Ligt het punt op de kegelsnede , dan is de poollijn van de raaklijn in aan .
  • Zijn uit een punt twee raaklijnen mogelijk aan een kegelsnede, dan is de poollijn van de drager van de raakkoorde (het lijnstuk dat beide raakpunten verbindt).
  • Als een punt op zijn eigen poollijn ligt, dan ligt op de kegelsnede.
  • Als niet het dubbelpunt is van een ontaarde kegelsnede , dan gaat de poollijn van door elk dubbelpunt van .
  • Iedere rechte heeft bij een niet-ontaarde kegelsnede juist één pool.
  • Als een cirkel is met middelpunt M, dan is de poollijn van de lijn loodrecht op MP door het inverse punt van het punt .

Pooldriehoek[bewerken | brontekst bewerken]

De diagonaaldriehoek PQR van de volledige vierhoek ABCD is een pooldriehoek van de ellips.

Een driehoek waarvan elke zijde de poollijn is van het overstaande hoekpunt ten opzichte van een kegelsnede , heet een pooldriehoek van en de kegelsnede een poolkegelsnede van de driehoek (zie de figuur rechts).

Is een volledige vierhoek ingeschreven in een niet-ontaarde kegelsnede , dan is zijn diagonaaldriehoek een pooldriehoek van .

Vergelijking van de poollijn van een punt t.o.v een kegelsnede met een canonieke vergelijking[bewerken | brontekst bewerken]

soort kegelsnede vergelijking kegelsnede vergelijking poollijn van P(r,s)
Cirkel
Ellips
Hyperbool
Parabool

Coördinaten van de pool van een lijn t.o.v een kegelsnede met een canonieke vergelijking[bewerken | brontekst bewerken]

soort kegelsnede vergelijking kegelsnede Pool van de lijn u x + v y + w = 0
Cirkel
Ellips
Hyperbool
Parabool

Vergelijking van de poollijn van een punt t.o.v een kegelsnede met een algemene vergelijking[bewerken | brontekst bewerken]

In een cartesisch coördinatenstelsel is de vergelijking van een kegelsnede van de vorm

.

De poollijn van het punt ten opzichte van die kegelsnede is de rechte waarbij

Pool van een rechte t.o.v een niet ontaarde kegelsnede met een algemene vergelijking[bewerken | brontekst bewerken]

De coördinaten van de pool van de rechte met vergelijking bij een niet-ontaarde kegelsnede met vergelijking

kunnen als volgt worden bepaald. De getallen worden berekend uit de volgende matrixvergelijking:

De pool is dan het punt met coördinaten .

Vergelijking van een poollijn, afgeleid zonder harmonische verwanten[bewerken | brontekst bewerken]

Poollijn van het punt bij een ellips

Gegeven is de ellips met vergelijking . Daarbij is het punt gelegen buiten de ellips.[1]

Is nu een raaklijn uit aan de ellips, waarbij het raakpunt is, dan is een vergelijking van die raaklijn:

Omdat het punt op deze lijn ligt, geldt de relatie:

Bij de andere raaklijn uit aan de ellips met als raakpunt geldt overeenkomstig:

Uit beide laatste relaties blijkt dat de coördinaten van de punten voldoen aan de vergelijking:

Aangezien dit een lineaire vergelijking is in x en y, is dit de vergelijking van de lijn door de punten : het is de vergelijking van de poollijn van bij de ellips. Het lijnstuk is de zogeheten raakkoorde bij . Dus:

  • Ligt buiten de ellips, dan is , of ook de vergelijking van de poollijn van bij de ellips.
  • Ligt op de ellips, dan is de vergelijking van de raaklijn in aan de ellips.
  • Ligt binnen de ellips, dan is – in dit geval per definitie – de lijn ook de poollijn van .

Bovenstaande redenering kan analoog worden toegepast voor het afleiden van de vergelijking van de poollijn van een punt bij een cirkel (vergelijking: ), parabool (vergelijking: ) en hyperbool (vergelijking: ).[2] Dit leidt dan tot de volgende vergelijkingen van de pool- c.q. raaklijnen:

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]

Noten[bewerken | brontekst bewerken]

  1. D.J.E. Schrek (1959): Beknopte Analytische Meetkunde. Groningen: P. Noordhoff N.V.; par. 69 (vierde druk, 1963).
  2. Zie opvolgend de paragrafen 34, 58 en 81 in [Schrek, 1963].