Presentatie (groepentheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een presentatie een methode om een groep te definiëren. Men specificeert een verzameling S van generatoren, opdat elk element van de groep kan worden geschreven als een product van enige van deze generatoren, en een verzameling R van relaties tussen deze generatoren. We zeggen dan dat G de presentatie

\langle S \mid R\rangle.\,\!

heeft. Informeel gesproken heeft G de bovenstaande presentatie als het de "vrijste groep" is, die door S wordt gegenereerd alleen onderworpen aan de relaties R. Formeel zegt men dat de groep G de bovenstaande presentatie heeft als de groep isomorf is met het quotiënt van een vrije groep op S door de normale deelgroep, die door de relaties R wordt gegenereerd.

Als een eenvoudig voorbeeld heeft de cyclische groep van orde n de presentatie

\langle a \mid a^n = e\rangle.\,\!

waar e de groepsidentiteit is. Dit kan op equivalente wijze worden geschreven als

\langle a \mid a^n\rangle,\,\!

aangezien termen waar geen gelijkteken instaat verondersteld worden gelijk te zijn aan de groepsidentiteit. Deze voorwaarden worden relators genoemd en worden zo onderscheiden van de relaties, waar wel een gelijkteken instaat.

Elke groep heeft een presentatie, en in feite zelfs vele verschillende presentaties; een presentatie is vaak de meest compacte manier om de structuur van de groep te beschrijven.

Een nauw verwant, maar verschillend concept is dat van een absolute presentatie van een groep.