Pseudo-euclidische ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een pseudo-euclidische ruimte is een eindige-dimensionale reële vectorruimte samen met een niet-gedegenereerde[1], niet-definiete kwadratische vorm. Zo'n kwadratische vorm kan, na een verandering in coördinaten, geschreven worden als

waarin , het getal de dimensie van de ruimte is, en .

Een zeer belangrijke pseudo-euclidische ruimte is de minkowski-ruimte, het wiskundige kader, waarin Albert Einsteins speciale relativiteitstheorie het meest natuurlijk in wordt geformuleerd. Voor een minkowski-ruimte geldt dat en . Voor echte euclidische ruimten geldt dat , zodat de kwadratische vorm dus positief-definiet en niet indefiniet is.

Een andere pseudo-euclidische ruimte is het vlak , dat bestaat uit de split-complexe getallen, uitgerust met de kwadratische vorm

.


In een pseudo-euclidische ruimte wordt de grootte van een vector gedefinieerd als . Anders dan in een euclidische ruimte, zijn er in een pseudo-euclidische ruimte vectoren ongelijk aan de nulvector maar met grootte nul, en ook vectoren met negatieve grootte.

Geassocieerd met de kwadratische vorm is het pseudo-euclidische inwendig product

Deze bilineaire vorm is symmetrisch, maar niet positief-definiet, zodat het geen "echt" inwendig product is.

Een interessante eigenschap van de pseudo-euclidische ruimte is dat er in deze ruimte niet alleen een eenheidsbol is, maar ook een tegenbol . Deze hyperoppervlakken zijn in werkelijkheid gegeneraliseerde hyperboloïden.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. "Niet gedegenereerd" komt er hier op neer dat er geen termen ontbreken.

Referenties[bewerken]

  • (en) Szekeres, Peter, A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry, Cambridge University Press, 2004. ISBN 0521829607.
  • (en) Novikov, S. P.; Fomenko, A.T.; [uit het Russisch in het Engels vertaald door M. Tsaplina], Basic elements of differential geometry and topology, Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publishers, 1990. ISBN 0792310098.