Quotiëntregel

De quotiëntregel is een formule om de afgeleide van een quotiënt van twee functies te bepalen.

Neem aan dat de functie f(x) geschreven kan worden als f(x) = g(x) / h(x) met h(x) ≠ 0 en dat g en h differentieerbaar, dan geldt

$f'(x) = \left({ \frac {{g(x)}} {{h(x)}} }\right)^\prime = \frac{{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}} {{\left( h(x) \right)^2}}$

De volgende verkorte notatie is eveneens gebruikelijk:

$f'=\left({\frac{{g}}{{h}}}\right)'= \frac {{g'h - gh'}} {{h^2}}$

Vaak wordt het volgende ezelsbruggetje gebruikt:

$f'=\frac{nat-tan}{n^2}$

Hierin staat "nat" voor "noemer keer afgeleide teller" en "tan" voor "teller keer afgeleide noemer" en "n²" voor het kwadraat van de noemer.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Beschouw f(x) = (x²-3x)/(x-1). Toepassen van de quotiëntregel levert

$f'(x) = \left({ \frac {{x^2 - 3x}} {{x - 1}}} \right)^\prime = \frac {{\left( {x^2 - 3x} \right)^\prime ({x-1}) - \left( {x^2 - 3x} \right)\left( {x-1} \right)^\prime }}{{\left( {x - 1} \right)^2 }}$

$= \frac{{ ({2x - 3}) ({x - 1}) - ({x^2 - 3x}) }} {{\left( {x - 1} \right)^2 }}$

$= \frac {{ x^2 - 2x + 3}} {{ \left( {x - 1} \right)^2 }}$

Voorbeeld 2

Beschouw g(x) = e^2x/sin(x). De afgeleide wordt dan

$g'(x) = \left({ \frac{{e^{2x} }} {{\sin x}}} \right)^\prime = \frac {{\left( {e^{2x} } \right)^\prime \sin x - e^{2x} \left( {\sin x} \right)^\prime }} {{\sin ^2 x}} = \frac{{e^{2x} \left( {2\sin x - \cos x} \right)}} {{\sin ^2 x}}$

Bewijs

Een eerste bewijs maakt gebruik van de productregel en van de kettingregel:

$f(x) \ = \ \frac {{\ g(x)\ }}{{\ h(x)\ }} \ =\ g(x)\ h^{{-1}}\left( x \right) \ \Rightarrow$

$f'(x) \ =\ [ \ g(x) \ h^{{-1}}\left( x \right) \ ] ' \ =\ \frac {{g'(x)}} {{h(x)}} \ -\ \frac {{g(x)h'(x)}} {{h^2(x)}} \ =\ \frac {{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}} {{h\left( x \right)^2 }}$

Een ander bewijs:

Stel $q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

$\Leftrightarrow f(x)=g(x)\cdot q(x)$

Gebruik makend van de productregel:

$\Leftrightarrow f'(x)=g(x)\cdot q'(x)+q(x)\cdot g'(x)$

$\Leftrightarrow q'(x)=\frac{f'(x)-q(x)\cdot g'(x)}{g(x)}$

$\Leftrightarrow q'(x)=\frac{f'(x)-\frac{f(x)}{g(x)}\cdot g'(x)}{g(x)}$

$\Leftrightarrow q'(x)=\frac{\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)}}{g(x)}$

$\Leftrightarrow q'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{\left[g(x)\right]^2}$