Quotiëntregel

De quotiëntregel is een formule om de afgeleide van een quotiënt van twee functies te bepalen.

Neem aan dat de functie f(x) geschreven kan worden als f(x) = g(x) / h(x) met h(x) ≠ 0 en dat g en h differentieerbaar, dan geldt

$f'(x)=\left({\frac {g(x)}{h(x)}}\right)^{\prime }={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}$$f'(x)=\left({{\frac {{g(x)}}{{h(x)}}}}\right)^{\prime }={\frac {{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}}{{\left(h(x)\right)^{2}}}}$

De volgende verkorte notatie is eveneens gebruikelijk:

$f'=\left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'h-gh'}{h^{2}}}$$f'=\left({{\frac {{g}}{{h}}}}\right)'={\frac {{g'h-gh'}}{{h^{2}}}}$

Vaak wordt het volgende ezelsbruggetje gebruikt:

$f'={\frac {nat-tan}{n^{2}}}$$f'={\frac {nat-tan}{n^{2}}}$

Hierin staat "nat" voor "noemer keer afgeleide teller" en "tan" voor "teller keer afgeleide noemer" en "n²" voor het kwadraat van de noemer.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Beschouw f(x) = (x²-3x)/(x-1). Toepassen van de quotiëntregel levert

$f'(x)=\left({\frac {x^{2}-3x}{x-1}}\right)^{\prime }={\frac {\left({x^{2}-3x}\right)^{\prime }({x-1})-\left({x^{2}-3x}\right)\left({x-1}\right)^{\prime }}{\left({x-1}\right)^{2}}}$$f'(x)=\left({{\frac {{x^{2}-3x}}{{x-1}}}}\right)^{\prime }={\frac {{\left({x^{2}-3x}\right)^{\prime }({x-1})-\left({x^{2}-3x}\right)\left({x-1}\right)^{\prime }}}{{\left({x-1}\right)^{2}}}}$

$={\frac {({2x-3})({x-1})-({x^{2}-3x})}{\left({x-1}\right)^{2}}}$$={\frac {{({2x-3})({x-1})-({x^{2}-3x})}}{{\left({x-1}\right)^{2}}}}$

$={\frac {x^{2}-2x+3}{\left({x-1}\right)^{2}}}$$={\frac {{x^{2}-2x+3}}{{\left({x-1}\right)^{2}}}}$

Voorbeeld 2

Beschouw g(x) = e^2x/sin(x). De afgeleide wordt dan

$g'(x)=\left({\frac {e^{2x}}{\sin x}}\right)^{\prime }={\frac {\left({e^{2x}}\right)^{\prime }\sin x-e^{2x}\left({\sin x}\right)^{\prime }}{\sin ^{2}x}}={\frac {e^{2x}\left({2\sin x-\cos x}\right)}{\sin ^{2}x}}$$g'(x)=\left({{\frac {{e^{{2x}}}}{{\sin x}}}}\right)^{\prime }={\frac {{\left({e^{{2x}}}\right)^{\prime }\sin x-e^{{2x}}\left({\sin x}\right)^{\prime }}}{{\sin ^{2}x}}}={\frac {{e^{{2x}}\left({2\sin x-\cos x}\right)}}{{\sin ^{2}x}}}$

Bewijs

Een eerste bewijs maakt gebruik van de productregel en van de kettingregel:

$f(x)\ =\ {\frac {\ g(x)\ }{\ h(x)\ }}\ =\ g(x)\ h^{-1}\left(x\right)\ \Rightarrow$$f(x)\ =\ {\frac {{\ g(x)\ }}{{\ h(x)\ }}}\ =\ g(x)\ h^{{{-1}}}\left(x\right)\ \Rightarrow$

$f'(x)\ =\ [\ g(x)\ h^{-1}\left(x\right)\ ]'\ =\ {\frac {g'(x)}{h(x)}}\ -\ {\frac {g(x)h'(x)}{h^{2}(x)}}\ =\ {\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h\left(x\right)^{2}}}$$f'(x)\ =\ [\ g(x)\ h^{{{-1}}}\left(x\right)\ ]'\ =\ {\frac {{g'(x)}}{{h(x)}}}\ -\ {\frac {{g(x)h'(x)}}{{h^{2}(x)}}}\ =\ {\frac {{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}}{{h\left(x\right)^{2}}}}$

Een ander bewijs:

Stel $q(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$$q(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$

$\Leftrightarrow f(x)=g(x)\cdot q(x)$$\Leftrightarrow f(x)=g(x)\cdot q(x)$

Gebruik makend van de productregel:

$\Leftrightarrow f'(x)=g(x)\cdot q'(x)+q(x)\cdot g'(x)$$\Leftrightarrow f'(x)=g(x)\cdot q'(x)+q(x)\cdot g'(x)$

$\Leftrightarrow q'(x)={\frac {f'(x)-q(x)\cdot g'(x)}{g(x)}}$$\Leftrightarrow q'(x)={\frac {f'(x)-q(x)\cdot g'(x)}{g(x)}}$

$\Leftrightarrow q'(x)={\frac {f'(x)-{\frac {f(x)}{g(x)}}\cdot g'(x)}{g(x)}}$$\Leftrightarrow q'(x)={\frac {f'(x)-{\frac {f(x)}{g(x)}}\cdot g'(x)}{g(x)}}$

$\Leftrightarrow q'(x)={\frac {\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)}}{g(x)}}$$\Leftrightarrow q'(x)={\frac {{\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)}}}{g(x)}}$

$\Leftrightarrow q'(x)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}}$$\Leftrightarrow q'(x)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}}$