Raakprobleem van Apollonius

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De acht oplossingen van het raakprobleem van Apollonius voor de drie dichte cirkels.

Het raakprobleem van Apollonius, vernoemd naar Apollonius van Perga, bestaat eruit de cirkels te construeren die drie gegeven cirkels raken. In het algemene geval zijn er acht oplossingen.

Reductie van het probleem[bewerken]

Het raakprobleem is te reduceren met de volgende observatie:

  • Als een cirkel met middelpunt A met straal r een cirkel met middelpunt B met straal R elkaar raken, dan raakt de cirkel met middelpunt A en straal |r + d| aan de cirkel met middelpunt B en straal |R + εd|, waar ε = ±1 afhankelijk van of de cirkels elkaar inwendig of uitwendig raken.

Het probleem kan nu worden gereduceerd door bij de drie gegeven cirkels de stralen gelijkelijk te vergroten/verkleinen (zo nodig absolute waarde nemen). Zo kan men bijvoorbeeld doorgaan totdat twee cirkels elkaar raken. Door inversie kunnen de rakende cirkels worden afgebeeld op evenwijdige lijnen en ontstaat een eenvoudiger versie van het probleem.

Algemene oplossing van het probleem[bewerken]

We gaan uit van drie cirkels C1, C2 en C3 met middelpunten O1, O2 en O3. Construeer het machtpunt M van C1, C2 en C3.

Elk tweetal van de cirkels heeft twee gelijkvormigheidscentra, totaal zes. Deze gelijkvormigheidscentra liggen op vier lijnen. Doe voor elk van deze vier lijnen het volgende:

  • We noemen de lijn even d.
  • De loodlijn vanuit M op d noemen we d'.
  • Snij d met de loodlijn op d vanuit O1, en noem het snijpunt (voetpunt) P1.
  • Neem de inverse van P1 ten opzichte van C1 en noem die Q1.
  • Snij de lijn MQ1 met C1, en noem de snijpunten U1 en V1.
  • Snij O1U1 met d': de cirkel met dit snijpunt als middelpunt door U1 is een oplossing.
  • Snij O1V1 met d': de cirkel met dit snijpunt als middelpunt door V1 is ook een oplossing.

Met twee oplossingen per lijn krijgen we in totaal de acht oplossingen.

Vereenvoudigde gevallen[bewerken]

Vaak bekijkt men eenvoudiger gevallen van het raakprobleem van Apollonius, door voor een cirkel een ontaarde cirkel te nemen: een punt of een lijn. Er ontstaan de volgende eenvoudiger gevallen:

  1. Gegeven drie punten, de oplossing is de omgeschreven cirkel
  2. Gegeven twee punten en een lijn
  3. Gegeven twee punten en een cirkel
  4. Gegeven een punt en twee lijnen
  5. Gegeven een punt, een lijn en een cirkel
  6. Gegeven een punt en twee cirkels
  7. Gegeven drie lijnen, de oplossing bestaat uit de ingeschreven en aangeschreven cirkels
  8. Gegeven twee lijnen en een cirkel
  9. Gegeven een lijn en twee cirkels