Radiaal (wiskunde)

Radiaal

De radiaal is de SI-eenheid voor hoek. Eén radiaal is gedefinieerd als de grootte van een middelpuntshoek van een cirkel waarvan de lengte van de boog gelijk is aan de lengte van de straal (radius). Een hoek van bijvoorbeeld 1,7 rad staat dus op een boog waarin 1,7 maal de straal van de cirkel past.

De radiaal is de coherente afgeleide eenheid m·m⁻¹, een dimensieloze grootheid. In berekeningen kan men het symbool "rad" weglaten of vervangen door 1.

Uitleg over de radiaal in relatie tot een cirkel.

Uit de formule voor de omtrek van een cirkel volgt dat een volledige cirkel overeenkomt met 2$\pi$ (ongeveer 6,283185) radialen.

• Relatie tot booggraden: één radiaal komt overeen met ${\tfrac {180^{\circ }}{\pi }}$ of ongeveer 57,29577951°.
• Relatie tot gon: één radiaal komt overeen met ${\tfrac {200\mathrm {gon} }{\pi }}$ of ongeveer 63,66197724 gon.

Aan de hand van deze eenheid kan eenvoudig de booglengte berekend worden.

Omrekenen

Vanwege de bovengenoemde relatie tussen graden en radialen, geldt voor een hoek

$\alpha =g^{\circ }=g{\frac {\pi }{180}}\,{\text{rad}}\approx {\frac {g}{57{,}3}}\,{\text{rad}}$

en omgekeerd

$\alpha =r\,{\text{rad}}=r{\frac {180}{\pi }}^{\circ }\approx r\cdot 57{,}3^{\circ }$

Voorbeelden

$\alpha =30^{\circ }=30{\frac {\pi }{180}}\,{\text{rad}}\approx 0{,}52\,{\text{rad}}$

$\alpha =0{,}4\,{\text{rad}}=0{,}4{\frac {180}{\pi }}^{\circ }\approx 22{,}9^{\circ }$

Wiskunde

In de wiskunde worden hoeken in principe uitgedrukt in radialen. Het voordeel van het gebruik van radialen in plaats van graden is dat veel formules en ook sommige benaderingen een eenvoudiger gedaante hebben. Zo is bijvoorbeeld voor kleine $x$ (uitgedrukt in radialen):

$\sin(x)\approx x$ oftewel $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

$\tan(x)\approx x$ oftewel $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan(x)}{x}}=1$

De machtreeksen voor goniometrische functies zijn namelijk het eenvoudigst in radialen. Als $x$ een reëel getal is, dan geldt bijvoorbeeld:

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

Zie ook

• Hoek
• Steradiaal
• Natuurkundige grootheden en eenheden

Mediabestanden

Zie de categorie Radian van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.