Reeks (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt genoteerd als een uitdrukking van de vorm

a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{i=1}^\infty a_i

Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eeneenduidig verband tussen de rijen termen uit die ruimte, en de reeksen.

De eventuele uitkomst s van de sommatie wordt, uitgedrukt in de termen van de reeks, hetzelfde genoteerd als de reeks, dus s = a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{i=1}^\infty a_i.

Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term reeks gebruikt, bijvoorbeeld rekenkundige reeks bij de sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij.

Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt.[1]

Definitie[bewerken]

Voor iedere rij (a_n)_{n=M}^\infty (met M eindig) in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som (uitdrukking die een som voorstelt)

\sum_{n=M}^{\infty}a_n = a_M + a_{M+1} + a_{M+2} + \ldots .[bron?]

De elementen van de rij zijn de termen van de reeks.

Partieelsommen[bewerken]

Met de rij (a_n)_{n=M}^\infty (met M eindig) associeert men de rij (S_n)_{n=M}^\infty der partieelsommen of partiële sommen, met

S_n=a_M+a_{M+1}+a_{M+2}+\ldots +a_{M+n}=\sum_{i=M}^na_i

Ook de limiet S der partieelsommen, als deze bestaat (zie onder), wordt op die twee manieren aangeduid. Welk van beide begrippen, de reeks ofwel de limietwaarde, de auteur bedoelt, moet uit de context blijken.

Alternatieve definitie van 'Reeks'[bewerken]

Met het begrip 'reeks' wordt ook wel de combinatie van een rij (a_n) en de rij (S_n) van zijn partiële sommen aangeduid: ( \, (a_n,S_n) \, )_{n=M}^\infty.

Convergentie[bewerken]

Voor reeksen met termen in een gegeven metrische ruimte (met optelling), is het zinvol het bestaan van de som te onderzoeken.

Een reeks heet convergent als de rij der partieelsommen convergeert naar een eindige limiet s. In dat geval noemt men s de som van de reeks:

s =\sum_{n=M}^{\infty} a_n =\lim_{N \to \infty} \sum_{n=M}^N a_n.

Als de rij der partieelsommen convergeert, moet de rij der afzonderlijke termen a_n convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: Een reeks waarvan de termen convergeren naar 0 kan nog steeds divergent ( = niet convergent) zijn; zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.

Reeks met als som plus of min oneindig[bewerken]

We kunnen bij een divergente reeks met reële termen onderscheiden een som oneindig, een som min oneindig, en het geval dat helemaal niet van een som gesproken kan worden, vergelijk oneindig als limiet.

Absolute convergentie[bewerken]

We beperken ons nu tot reeksen waarvan de termen reële getallen zijn.

Een reeks heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen a_i\! op hun beurt de bouwstenen zijn van een convergente reeks.

Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente reeks die niet absoluut convergent is (een voorwaardelijk convergente reeks), geldt dit helemaal niet. Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.

Geometrische of meetkundige reeks[bewerken]

De reeks voortgebracht door de machten van een getal a met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:

1 + a + a^2 + a^3 + ... = \frac{1}{1-a}

Dit is als volgt te bewijzen:

 s_n = 1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^n, |a| < 1
 as_n = a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{n+1}
 s_n - as_n = 1 - a^{n+1} \!
 s_n ( 1 - a ) = 1 - a^{n+1} \!
 s_n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} \!
s=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} = \frac{1}{1-a} .

Zie ook, meer algemeen, meetkundige reeks.

Harmonische reeks[bewerken]

De harmonische rij is in de wiskunde de rij  1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{5},\cdots , dus met algemene term: a_n=\tfrac{1}{n}

Het is een van de eenvoudigste rijen met de eigenschap a_n = O(1/n) (zie grote-O-notatie), dus de eigenschap dat na_n begrensd is.

De bijbehorende harmonische reeks

\sum\frac{1}{n}

is divergent.

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} is voor grote n bij benadering gelijk aan \ln(n): beide gaan naar oneindig, maar het verschil heeft als limiet de constante van Euler-Mascheroni.

Hyperharmonische reeks[bewerken]

Een hyperharmonische reeks is een reeks van de vorm

1+\tfrac{1}{2^p} + \tfrac{1}{3^p} + \dots + \tfrac{1}{n^p}
waarbij p \in \mathbb{R}

We kunnen de volgende gevallen onderscheiden:

  1. Als p=1: harmonische reeks, divergeert
  2. Als p<1: hyperharmonische reeks, divergeert
  3. Als p>1: hyperharmonische reeks, convergeert

Alternerende reeks[bewerken]

Bij een alternerende reeks wisselen de termen elke keer van teken.

De reeks \sum \tfrac{(-1)^{n+1}}{n} is convergent, maar niet absoluut convergent:

1 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} + ... = \ln(2)

Deze reeks heet alternerende harmonische reeks.

Andere typen reeksen[bewerken]

Andere typen reeksen zijn onder andere:

Voorbeelden[bewerken]

Voorbeelden van reeksen die een relatie hebben met het getal π.

Van Leonhard Euler zijn de reeksen:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac 11+ \frac 14+ \frac19+ \ldots = \frac{\pi^2}{6}

en


\sum^\infty_{n=0} \frac{1}{\left(2n+1\right)^2}= \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{8}


Van Gottfried Wilhelm von Leibniz zijn de reeksen:


\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1}= \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots =\frac{\pi}{4}

en


\sum^\infty_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}= \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \dots
= \sum^\infty_{n=0} \left(\frac{1}{\left(2n+1\right)^2} - \frac{1}{\left(2n+2\right)^2}\right)= \frac{\pi^2}{12}

Zie ook[bewerken]