De regel van l'Hôpital is een stelling in de wiskunde die kan worden gebruikt bij het berekenen van de limiet van het quotiënt van twee functies door middel van hun afgeleiden . De regel is genoemd naar de Franse wiskundige Guillaume de l'Hôpital (1661–1704), die de regel als eerste publiceerde in zijn boek L'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes ; dit terwijl de regel waarschijnlijk als eerste is ontdekt door Johann Bernoulli .
De regel is speciaal van toepassing als de limieten van elk van de functies, bij dezelfde waarde van het argument , zodanige waarden hebben dat het quotiënt onbepaald is.
Als voor twee differentieerbare functies
f
{\displaystyle f}
en
g
{\displaystyle g}
en een getal
a
{\displaystyle a}
voldaan is aan een van de voorwaarden:
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}g(x)=0}
of
lim
x
→
a
|
f
(
x
)
|
=
lim
x
→
a
|
g
(
x
)
|
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to a}{|f(x)|}=\lim _{x\to a}{|g(x)|}=\infty }
,
geldt
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x) \over g(x)}=\lim _{x\to a}{f'(x) \over g'(x)}}
mits de limiet in het rechterlid bestaat.
Door toepassing van deze regel kunnen onbepaaldheden van de vorm
0
/
0
{\displaystyle 0/0}
en
∞
/
∞
{\displaystyle \infty /\infty }
mogelijk opgelost worden.
Zij:
f
(
a
)
=
g
(
a
)
=
0
(
of
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
±
∞
∧
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
±
∞
)
{\displaystyle f(a)=g(a)=0\left({\mbox{ of }}\lim _{x\to a}{f(x)}=\pm \infty \land \lim _{x\to a}{g(x)}=\pm \infty \right)}
,
∀
x
∈
I
∖
{
a
}
:
g
(
x
)
≠
0
(
I
=
]
b
,
c
[
;
a
∈
I
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {I} \backslash \{a\}:g(x)\neq 0\left(\mathbb {I} =\left]b,c\right[;a\in \mathbb {I} \right)}
,
f
′
(
a
)
,
g
′
(
a
)
∈
R
;
g
′
(
a
)
≠
0
{\displaystyle f'(a),g'(a)\in \mathbb {R} ;g'(a)\neq 0}
Dan geldt:
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
a
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
⇔
f
(
x
)
g
(
x
)
=
(
f
(
x
)
−
f
(
a
)
x
−
a
)
(
g
(
x
)
−
g
(
a
)
x
−
a
)
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}\Leftrightarrow {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\right)}}}
,
zodat
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
[
f
(
x
)
−
f
(
a
)
x
−
a
]
lim
x
→
a
[
g
(
x
)
−
g
(
a
)
x
−
a
]
=
f
′
(
a
)
g
′
(
a
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to a}{\left[{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right]}}{\lim \limits _{x\to a}{\left[{\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\right]}}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}}
Laat
I
=
(
b
,
a
)
{\displaystyle I=(b,a)}
een niet-leeg open interval zijn en
f
,
g
:
I
→
R
{\displaystyle f,\,g:I\to \mathbb {R} }
twee differentieerbare functies waarvoor de linkerlimieten
lim
x
↑
a
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\uparrow a}f(x)}
en
lim
x
↑
a
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\uparrow a}g(x)}
beide bestaan en gelijk zijn aan 0, of beide divergeren naar
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
.
Als
g
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g'(x)\neq 0}
voor alle
x
∈
I
{\displaystyle x\in I}
en
lim
x
↑
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\uparrow a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
bestaat of divergeert naar
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
, dan bestaat ook
lim
x
↑
a
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\uparrow a}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
of divergeert naar
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
Analoge resultaten gelden voor een interval
I
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle I=(a,b)}
en rechterlimieten, en voor
a
=
±
∞
{\displaystyle a=\pm \infty }
Als
I
{\displaystyle I}
een echte deelverzameling is van een open interval waarop aan de genoemde voorwaarden voldaan is, dan geldt in het bijzonder:
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
c
⇒
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
c
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=c\ \Rightarrow \ \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c}
In de onderstaande limiet gaan zowel teller als noemer naar 0. Met de regel van l'Hôpital blijkt:
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
2
+
x
=
lim
x
→
0
e
x
2
x
+
1
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}=1}
In het volgende voorbeeld gaan zowel teller als noemer naar
∞
{\displaystyle \infty }
. Met de regel van l'Hôpital blijkt:
lim
x
→
∞
x
ln
(
x
)
=
lim
x
→
∞
1
/
(
2
x
)
1
/
x
=
lim
x
→
∞
x
2
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1/(2{\sqrt {x}})}{1/x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty }
De breukmethode (de onbepaaldheid
0
⋅
∞
{\displaystyle 0\cdot \infty }
) [ bewerken | brontekst bewerken ]
Op de volgende manier kan men ook de limiet van een product waarvan de factoren als limieten 0 en
∞
{\displaystyle \infty }
hebben bepalen door de regel van l'Hôpital toe te passen. Als bijvoorbeeld:
lim
x
→
c
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}
en
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=\infty }
dan kan de regel van l'Hôpital toegepast worden via:
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
(
1
g
(
x
)
)
′
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{\left({\frac {1}{g(x)}}\right)'}}}
Limieten van de vorm
∞
−
∞
{\displaystyle \infty \ -\ \infty }
[ bewerken | brontekst bewerken ]
Limieten die aanleiding geven tot de onbepaaldheid
∞
−
∞
{\displaystyle \infty \ -\ \infty }
kunnen soms bepaald worden met de regel van de l'Hôpital. Dit is het geval indien de oneindigheden zelf zouden ontstaan vanuit een deling door nul. Bijvoorbeeld
lim
x
→
0
(
1
x
−
1
sin
(
x
)
)
=
lim
x
→
0
sin
(
x
)
−
x
x
⋅
sin
(
x
)
=
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{\sin(x)}}\right)=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)-x}{x\cdot \sin(x)}}=}
=
lim
x
→
0
cos
(
x
)
−
1
sin
(
x
)
+
x
cos
(
x
)
=
lim
x
→
0
−
sin
(
x
)
cos
(
x
)
+
cos
(
x
)
−
x
sin
(
x
)
=
0
{\displaystyle =\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-\sin(x)}{\cos(x)+\cos(x)-x\sin(x)}}=0}
Limieten van de vorm
lim
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim \ f(x)^{g(x)}}
[ bewerken | brontekst bewerken ]
Ook bepaalde limieten van de vorm
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}}
kunnen soms met de regel van de l'Hôpital worden opgelost, indien de afzonderlijke limeten aanleiding geven tot een onbepaaldheid van de vorm
0
0
,
∞
0
{\displaystyle 0^{0},\ \infty ^{0}}
of
1
∞
{\displaystyle 1^{\infty }}
.
De limiet wordt daartoe herschreven in de vorm
lim
x
→
a
e
g
(
x
)
⋅
ln
(
f
(
x
)
)
=
e
lim
x
→
a
g
(
x
)
⋅
ln
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}e^{g(x)\cdot \ln(f(x))}=e^{\lim _{x\to a}g(x)\cdot \ln(f(x))}}
De logaritmische functie kan immers binnen de limiet gebracht worden omdat ze over haar volledig domein continu is.
Voorbeeld
lim
x
↓
0
x
sin
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\downarrow 0}x^{\sin(x)}}
Enkel de rechterlimiet is hier mogelijk.
De limiet wordt dus herschreven als
e
lim
x
↓
0
sin
(
x
)
⋅
ln
(
x
)
{\displaystyle e^{\lim _{x\downarrow 0}\sin(x)\cdot \ln(x)}}
Voor de limiet geldt:
lim
x
↓
0
sin
(
x
)
⋅
ln
(
x
)
=
lim
x
↓
0
ln
(
x
)
csc
(
x
)
=
lim
x
↓
0
1
/
x
−
cot
(
x
)
csc
(
x
)
=
lim
x
↓
0
sin
2
(
x
)
−
x
cos
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\downarrow 0}\sin(x)\cdot \ln(x)=\lim _{x\downarrow 0}{\frac {\ln(x)}{\csc(x)}}=\lim _{x\downarrow 0}{\frac {1/x}{-\cot(x)\csc(x)}}=\lim _{x\downarrow 0}{\frac {\sin ^{2}(x)}{-x\cos(x)}}=0}
zodat:
lim
x
↓
0
x
sin
(
x
)
=
e
0
=
1
{\displaystyle \lim _{x\downarrow 0}x^{\sin(x)}=e^{0}=1}