Regel van l'Hôpital

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

De regel van l'Hôpital is een stelling in de wiskunde die kan worden gebruikt bij het berekenen van de limiet van het quotiënt van twee functies door middel van hun afgeleiden. De regel is genoemd naar de Franse wiskundige Guillaume de l'Hôpital (1661–1704), die de regel als eerste publiceerde in zijn boek L'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes; dit terwijl de regel waarschijnlijk als eerste is ontdekt door Johann Bernoulli.

De regel is speciaal van toepassing als de limieten van elk van de functies, bij dezelfde waarde van het argument, zodanige waarden hebben dat het quotiënt onbepaald is.

Formulering van de regel[bewerken | bron bewerken]

Als voor twee differentieerbare functies en en een getal voldaan is aan een van de voorwaarden:

of

,

geldt

mits de limiet in het rechterlid bestaat.

Door toepassing van deze regel kunnen onbepaaldheden van de vorm en mogelijk opgelost worden.

Bewijs[bewerken | bron bewerken]

Zij:

  • ,
  • ,

Dan geldt:

,

zodat


Precieze formulering[bewerken | bron bewerken]

Laat een niet-leeg open interval zijn en twee differentieerbare functies waarvoor de linkerlimieten en beide bestaan en gelijk zijn aan 0, of beide divergeren naar .

Als voor alle en

bestaat of divergeert naar , dan bestaat ook

of divergeert naar

Analoge resultaten gelden voor een interval en rechterlimieten, en voor

Als een echte deelverzameling is van een open interval waarop aan de genoemde voorwaarden voldaan is, dan geldt in het bijzonder:

Voorbeelden[bewerken | bron bewerken]

Als voorbeeld kan de regel van l'Hôpital gebruikt worden om te berekenen dat:

Merk op dat dit ook gewoon de definitie van de afgeleide van in het punt is.

De breukmethode (de onbepaaldheid )[bewerken | bron bewerken]

Via de volgende manier kan men een limiet met als uitkomst een onbepaalde vorm oplossen door om te vormen naar een breuk, en daar de regel van l'Hôpital op toe te passen. Als er bijvoorbeeld een limiet is met uitkomst:

dan vormen we het rechterlid om tot

In deze vorm kan de regel van l'Hôpital toegepast worden. Dit gebeurt als volgt:

Limieten van de vorm [bewerken | bron bewerken]

Limieten die aanleiding geven tot de onbepaaldheid kunnen soms worden opgelost met de Regel van de l'Hôpital. Dit is het geval indien de oneindigheden zelf onstaat vanuit een 'deling door nul'.

  • Voorbeeld

Door beide termen op dezelfde noemer te brengen wordt de limiet

en dit kan met de basisregel van de l'Hôpital worden opgelost.

Limieten van de vorm [bewerken | bron bewerken]

Ook bepaalde limieten van de volgende vorm kunnen met de Regel van de l'Hôpital worden opgelost:

indien die na invulling van het limietpunt aanleiding geven tot een onbepaaldheid van de vorm of of . De achterliggende reden is dat elk van deze onbepaaldheden door toepassing van de regel wordt omgezet in de onbepaaldheid .

De limiet wordt daartoe eerst herschreven, door gebruik te maken van een exponentiële functie en een logaritmische functie, in de vorm

De logaritmische functie kan immers binnen de limiet gebracht worden omdat ze over haar volledig domein continu is. Door deze actie wordt voor elk van de drie genoemde onbepaaldheden de beoogde onbepaaldheid

bekomen, die dan verder kan worden omgezet in een onbepaaldheid

of

wat dan tenslotte in aanmerking komt voor de Regel van de l'Hôpital.

  • Voorbeeld

Enkel de rechterlimiet waarbij nul door x wordt benaderd langs grotere (positieve) waarden is hier mogelijk. Door het limietpunt in te vullen wordt een onbepaaldheid bekomen: .

De limiet wordt dus herschreven als

We laten de e-macht nu even achterwege. De limiet zelf is een onbepaaldheid . Door de sinus als een cosecans in de noemer te plaatsen wordt de limiet herschreven als

en dit geeft nu een onbepaaldheid die verder kan worden aangepakt met de Regel van de l'Hôpital.

Na toepassing vindt men als resultaat 0. De finale waarden van de oorspronkelijke limiet is dus, door de exponentiële functie weer in rekening te brengen, gelijk aan