Regel van l'Hôpital

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

De regel van l'Hôpital is een wiskundige stelling voor het berekenen van de limiet van het quotiënt van twee functies door middel van hun afgeleiden. De regel is genoemd naar de Franse wiskundige Guillaume de l'Hôpital (1661–1704), die de regel als eerste publiceerde in zijn boek, L'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, dit hoewel de regel waarschijnlijk als eerste is ontdekt door Johan Bernoulli. De regel is speciaal van toepassing als de limieten van elk van de functies zodanige waarden hebben dat het quotiënt onbepaald is.

Formulering van de regel[bewerken]

Als voor twee differentieerbare functies en en een getal geldt, dat

of

dan geldt

indien de limiet aan de rechterzijde bestaat.

Door toepassing van deze regel kunnen onbepaaldheden van de vorm 0/0 en ∞/∞ mogelijk opgelost worden.

Bewijs[bewerken]

Zij:

  • ,
  • ,


Dan geldt:

Preciese formulering[bewerken]

Laat een niet-leeg open interval zijn en twee differentieerbare functies waarvoor de linkerlimieten en beide bestaan en gelijk zijn aan 0, of beide divergeren naar .

Als voor alle en

bestaat of divergeert naar , dan bestaat ook

of divergeert naar

Analoge resultaten gelden voor een interval en rechterlimieten, en voor

Als een echte deelverzameling is van een open interval waarop aan de genoemde voorwaarden voldaan is, dan geldt in het bijzonder:

Voorbeelden[bewerken]

Als voorbeeld kan de regel van l'Hôpital gebruikt worden om te berekenen dat:

Merk op dat dit ook gewoon de definitie van de afgeleide van in het punt is.

De breukmethode[bewerken]

Via de volgende manier kan men een limiet met als uitkomst een onbepaalde vorm oplossen door om te vormen naar een breuk, en daar de regel van l'Hôpital op toe te passen. Als er bijvoorbeeld een limiet is met uitkomst:

dan vormen we het rechterlid om tot

In deze vorm kan de regel van l'Hôpital toegepast worden. Dit gebeurt als volgt: