Regel van l'Hôpital

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De regel van l'Hôpital is een wiskundige regel die gebruikt wordt voor het berekenen van limieten door middel van afgeleiden. De regel is genoemd naar de Franse wiskundige Guillaume de l'Hôpital (1661–1704), die de regel als eerste publiceerde in zijn boek, l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, dit hoewel de regel waarschijnlijk als eerste is ontdekt door Johan Bernoulli.

De regel luidt: Als voor twee differentieerbare functies f en g en een waarde c geldt, dat

 \lim_{x\to c}{f(x)} = \lim_{x\to c}g(x) = 0

of

 \lim_{x\to c}{|f(x)|} =\lim_{x\to c}{|g(x)|} = +\infty

dan geldt

\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to c}{f'(x)\over g'(x)}

indien de limiet aan de rechterzijde bestaat. Op deze manier kunnen onbepaaldheden van de vorm 0/0 en ∞/∞ mogelijk opgelost worden.

Bewijs[bewerken]

Zij:

  • f(a)=g(a)=0\left(\or\lim_{x\to a}{f(x)}=\pm\infty\and\lim_{x\to a}{g(x)}=\pm\infty\right),
  • \forall x\in \mathbb{I}\backslash\{a\}: g(x)\neq 0 \left(\mathbb{I}=\left]b,c\right[; a\in I\right),
  • f'(a),g'(a)\in \mathbb{R}; g'(a)\neq 0


Dan geldt:

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}

\Leftrightarrow \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right)}

\Leftrightarrow \lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}= \frac{\lim_{x\to a}{\left[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right]}}{\lim_{x\to a}{\left[\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right]}}

\Leftrightarrow \lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{f'(a)}{g'(a)}

q.e.d.

Voorbeelden[bewerken]

Als voorbeeld kan de regel van l'Hôpital gebruikt worden om te berekenen dat:

\lim_{x\to 0}{\sin{x}\over x}=\lim_{x\to 0}{\cos{x}\over 1}=1

Merk op dat dit gewoon de definitie van de afgeleide van sin(x) in x=0 is.

  \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\ 1/(2 \sqrt{x}\,)\ }{1/x}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = \infty.