Rekenen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Allegorie van de rekenkunde (detail) door Laurent de La Hyre
Rekenen in groep 3 van de basisschool

Met rekenen, aritmetica, cijferkunst, rekenkunde wordt een aantal bewerkingen, ook wel operaties genoemd, aangeduid die op getallen worden uitgevoerd. Deze bewerkingen zijn: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken. Door het uitvoeren van een dergelijke bewerking wordt het resultaat van de bewerking berekend. De rekenkunde geeft tevens aan welke eisen en voorwaarden aan een bewerking gesteld zijn.

Zeer abstract wordt rekenen omschreven als een proces waarin een realiteit (of een abstractie daarvan) wordt geordend of herordend met behulp van op inzicht berustende denkhandelingen, welke ordening in principe is te kwantificeren en die toelaat om er (logische) operaties op uit te voeren dan wel uit af te leiden.[1] Het is samen met taal en lezen een belangrijk schoolvak. In het onderwijs wordt ook wel gesproken van reken-wiskundeonderwijs.

Volgorde van bewerkingen[bewerken]

Omdat bij het rekenen in veel gevallen een combinatie van bewerkingen voorkomt, zijn er regels voor de volgorde waarin de bewerkingen worden uitgevoerd. Deze volgorde kan met haakjes worden aangegeven. Bewerkingen tussen haakjes worden eerst uitgevoerd. Wanneer er meerdere operaties achtereenvolgens worden uitgevoerd, is de internationale regel:

  • eerst machtsverheffen en worteltrekken
  • dan vermenigvuldigen en delen
  • ten slotte optellen en aftrekken

Inverse bewerkingen worden hierbij als onderling gelijkwaardig beschouwd.

Op de basisschool in Nederland werd vroeger de regel Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord (Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen en Aftrekken) geleerd (of Mijn Vader Draait Worsten Op Aarde of Men Vaart De Waal Op en Af), tegenwoordig wordt echter meestal de internationale regel gebruikt. Een nieuw ezelsbruggetje is: Het Mooie Witte Veulentje Draaft Op en Af (Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Vermenigvuldigen, Delen, Optellen en Aftrekken). Of: Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen, of Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland

De berekening van 12 – 2×5 behoort met toepassing van de regels geen probleem te zijn:

12 – 2×5 = 12 – 10 = 2

De berekening van 5 – 3 = 2 is gemakkelijk. Moeilijker wordt het bij 5 – (–3). Hier geldt de regel "min keer min is plus", dus

5 – (–3) = 5 + 3 = 8.

Maar de vroeger gebruikte voorrangsregels zoals ze hierboven staan, leiden af van de essentie. Het kan korter en duidelijker. De kortere formulering is: Eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts en daarna optellen en aftrekken van links naar rechts.

In een klas na de basisschool die aan het rekenen is, wordt vaak de vraag een keer opgeworpen: wat moet ik met die haakjes? En dan geeft een klasgenoot direct het antwoord: tussen haakjes éérst uitrekenen! Dat is zo voor de hand liggend dat er verder niet over gesproken hoeft te worden. Ook over worteltrekken en machtsverheffen hoeft dan niet te worden gesproken. Ook dat is duidelijk, ook dat moet eerst worden uitgerekend.

Tot slot moet vanwege de veranderde regels aandacht geschonken worden aan een opgave als: bereken 20 : 4 × 5

Volgens sommige van de regels hierboven, zoals Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland, is het duidelijk, eerst moet er vermenigvuldigd worden en daarna worden gedeeld. Dat levert als resultaat:

20 : 4 × 5 = 20 : 20 = 1

Dit is tegenwoordig FOUT! Hetgoede antwoord wordt verkregen door eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts toe te passen. Dat levert:

20 : 4 × 5 = 5 × 5 = 25

Dit is tegenwoordig het GOEDE ANTWOORD!

Volgens een ruwe schatting kent de helft van de Nederlanders geboren voor 1970 deze regel niet. Want vroeger werd op de lagere school geleerd dat vermenigvuldigen vóór delen ging. In de jaren tachtig van de vorige eeuw zijn de meeste basisscholen over gegaan op methodes die vermenigvuldigen en delen dezelfde prioriteit geven (en dan van links naar rechts uit te rekenen), enigszins afhankelijk van wanneer er geld was om een nieuwe methode te kopen.

Het zou daarom goed zijn als in het onderwijs regels als Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland, verlaten zouden worden en zouden worden vervangen door:

Eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts en daarna optellen en aftrekken van links naar rechts, eventueel voorafgegaan door Om te beginnen tussen haakjes uitrekenen, en dan ….

Ook een opgave als 5 - 3 + 1 = is met de "oude regels" niet goed uit te rekenen, want dat wordt 5 - 3 + 1 = 5 - 4 = 1 (het FOUTE antwoord). Met de nieuwe regels gaat het van links naar rechts: 5 - 3 + 1 = 2 + 1 = 3 (het GOEDE antwoord).

Nog drie opmerkingen.

  • Ten eerste, waarom is die rekenregel veranderd? Voor de hand liggend lijkt dat de nieuwe rekenregel samen met de computers vanuit Amerika deze kant op is gekomen.
  • Ten tweede, in sommige groepen in onze maatschappij doet het probleem van eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts, zich niet als probleem voor. In die groepen waar veel wordt gerekend, wordt altijd met haakjes gewerkt. Een som als 20 : 4 × 5 = wordt ALTIJD geschreven als (20 : 4 ) × 5 = of als 20 : (4 × 5) =
  • Ten derde, nog een tip voor het onderwijs. Vele jongeren leren op de basisschool onvoldoende rekenen. (Ter illustratie: volgens een ruwe schatting heeft één op de vijf à zes mbo’ers op niveau 4, bij het begin van de opleiding een rekenniveau van groep 6 van de basisschool of lager.) Die grote rekenachterstand moet vaak na de basisschool worden gerepareerd. Vaak worden leerlingen dan geholpen door ouders om de achterstand weg te werken. Vertel die ouders dat ten aanzien van vermenigvuldigen en delen de regel is veranderd!

De bovengenoemde rekenoperaties worden in de ontwikkelde landen op de basisschool geleerd. Historisch gezien stond het rekenen aan de basis van de wiskunde. Nu kan het rekenen beschouwd worden als de tak van de wiskunde die de eigenschappen van bovengenoemde operaties op de natuurlijke en op de rationale getallen bestudeert.

Zie ook: Orde

Onderwijs[bewerken]

Nederland[bewerken]

Een bepaald rekenniveau hoort bij een gemiddelde van een groep van een basisschool. Er zijn toetsen waarmee het rekenniveau bepaald kan worden. Hiermee kan bekeken worden hoe een leerling scoort ten opzichte van de groep en welke instructie de leerling precies nodig heeft de komende periode. Voorbeelden hiervan zijn de toetsen van het Centraal Instituut voor Toetsontwikkeling die halfjaarlijks kunnen worden afgenomen. Ook de Tempo Toets Rekenen, Tempo Toets Automatiseren, Schoolvaardigheidstoets Rekenen-Wiskunde en de Schoolvaardigheidstoets Hoofdrekenen van Teije de Vos en Boom Test Uitgevers worden veel gebruikt.

Sinds 2010 is rekenen ook een verplicht vak binnen het MBO (Middelbaar Beroeps Onderwijs). Het vak rekenen wordt gefaseerd ingevoerd binnen alle niveaus binnen het MBO. Deze fasering gaat ook op voor wanneer rekenen mee gaat tellen voor de zak en slaag regeling. Uiteindelijk wordt rekenen een examenvak binnen het gehele MBO, passend bij de referentieniveaus 2F en 3F uit het rapport Meijerink.

Vlaanderen[bewerken]

In Vlaanderen bepaalt men het rekenniveau (zoals trouwens ook het lees- en spellingsniveau) aan de hand van een LVS (Leerlingvolgsysteem), waarbij leerlingen gestandaardiseerde oefeningen invullen. De uitslag wordt vergeleken met hun normgroep (het leerjaar dat ze volgen) en omgezet in een percentielscore. Het werkt met leerjaren van de kleuterschool (1 t/m 3), lagere school (1 t/m 6) en middelbare school (ook 1 t/m 6)

Zie ook[bewerken]

Wikibooks Wikibooks heeft meer over dit onderwerp: Rekenen.