Reproductiegetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het (basis-)reproductiegetal (R0) van een infectieziekte is het gemiddeld aantal secundaire besmettingen die veroorzaakt worden door een primair geval in een bevolking zonder immuniteit en in afwezigheid van profylactische maatregelen.

R_0 = \frac {\beta S_0}{\delta} = \frac {\beta N}{\delta} (= \beta N D)

Het effectief reproductiegetal Reff ligt lager omdat het ermee rekening houdt dat een gedeelte van de bevolking immuun is:

R_{eff} = \frac {\beta S}{\delta} = R_0 \times \frac {S}{N}

Als R0 < 1 dan zal de infectie verdwijnen uit de populatie, maar als R0 > 1 dan kan ze uitgroeien tot een epidemie.

Hoe groter R0, des te moeilijker zal de infectie onder controle te krijgen zijn. De proportie van de populatie die zal gevaccineerd moeten worden om de toestand van kudde-immuniteit te verkrijgen (en zo de verspreiding te stoppen) wordt gegeven door: 1-(1/R0) (zie afleiding hieronder).

Zie verder: SIR-model (epidemiologie)

Enkele R0-waarden[bewerken]

Enkele R0-waarden:

Oorsprong[bewerken]

Oorspronkelijk is de term afkomstig uit de demografie: Als R0 < 1 dan zal de bevolking krimpen, maar als R0 > 1 dan kan ze aangroeien. Hier betekent R0 < 1 dat de epidemie ophoudt (het aantal geïnfecteerden zal dalen).


Afleiding minimale vaccinatiegraad[bewerken]

SIR-model[bewerken]

Hiervoor gelden volgende vergelijkingen:

\frac{dS}{dt} = - \lambda(t)S(t)

\frac{dI}{dt} = \lambda(t)S(t) - \delta I(t) > 0

\frac{dR}{dt} = \delta Y(t)

In dit model zal I enkel toenemen als de tweede vergelijking groter is dan 0. (De wiskundig afgeleide van de curve heeft een positieve helling of richtingscoëfficiënt.) We veronderstellen een constante infectiekracht: λ(t)=λ.

\lambda S(t) - \delta I(t) > 0 \frac{}{} of \beta I(t)S(t) - \delta I(t) > 0 \frac{}{}

Want de infectiekracht λ is gelijk aan de transmissiecoëfficiënt β maal I. Als I niet gelijk is aan nul, betekent dat:

\beta S(t) - \delta > 0 \frac{}{} of \beta S(t) > \delta \frac{}{} of S(t) > \frac {\delta}{\beta}

Door beide leden te delen door N:

\frac {S(t)}{N} > \frac {\delta}{\beta N}

Aangezien R0 = βS0/δ = βS0D (N ≈S(0)):

s* = \frac {S(t)}{N} > \frac {1}{R_0}

Dit betekent dus dat de proportie niet-gevaccineerden s* in de populatie niet hoger mag zijn dan het omgekeerde van het basisreproductiegetal van die ziekte (in die situatie); anders zal een epidemie optreden. Zo kan de minimale vaccinatiegraad pc aangeduid worden:

s* = 1 - p_c = \frac {1}{R_0} of p_c = 1 - \frac {1}{R_0}

Als we nu ook nog meerekenen dat de vaccinatie-efficiëntie niet altijd 100% is, dan is de te vacineren proportie pv:

p_c = \frac{1 - \frac {1}{R_0}}{VE}

voorbeeld[bewerken]

  • R0=2 VE=0.80, dan is pc=0.625; of 62,5% van de bevolking moet gevaccineerd worden.
  • R0=3 VE=0.90, dan is pc=0.74

Volgende-generatiematrix[bewerken]

Als er met verschillende leeftijdsklassen gerekend wordt, bestaat de next generation matrix uit alle R0 voor alle combinaties van leeftijdsklassen: R_{0 ij} = \beta_{ij} N_i D \frac{}{}

Voor vier leeftijdsklassen ziet hij er zo uit: 
\begin{bmatrix}
\beta_{11}N_1D & \beta_{12}N_2D & \beta_{13}N_3D & \beta_{14}N_4D \\
\beta_{21}N_1D & \beta_{22}N_2D & \beta_{23}N_3D & \beta_{24}N_4D \\
\beta_{31}N_1D & \beta_{32}N_2D & \beta_{33}N_3D & \beta_{34}N_4D \\
\beta_{41}N_1D & \beta_{42}N_2D & \beta_{43}N_3D & \beta_{44}N_4D
\end{bmatrix}

Deze matrix kan berekend worden door vermenigvuldiging van de WAIFW-matrix met ND.

Berekening R0 uit gegevens voor en na een epidemie[bewerken]

 R_0 = \frac{\ln{\frac{S(0)}{S(e)}}}{1-s_e}

Afleiding[bewerken]

De bevolkingsgroepen in het SIR-model voldoen aan deze vergelijkingen:

\frac{dS}{dt} = - \lambda(t)S(t) = - \beta I(t)S(t)

\frac{dI}{dt} = \lambda(t)S(t) - \delta I(t) = \beta I(t)S(t) - \delta I(t)

Delen we beiden door elkaar en integreren we, dan bekomen we:

\frac{dI}{dS} = \frac{\beta I(t)S(t) - \delta I(t)}{- \beta I(t)S(t)} = -1 + \frac{\delta}{\beta S(t)}

Integreren we, dan bekomen we:

I(t) = - S(t) + \frac{\delta}{\beta}\ln{S(t)} + cst.

of

I(t) + S(t) - \frac{\delta}{\beta}\ln{S(t)} = Cst.

Dus op twee verschillende tijdstippen (t=0 en t=e; respectievelijk voor en na de epidemie):

I(0) + S(0) - \frac{\delta}{\beta}\ln{S(0)} = I(e) + S(e) - \frac{\delta}{\beta}\ln{S(e)}

Aangezien I(0)=I(e)=0, en S(0)=N, kunnen we schrijven:

N - \frac{\delta}{\beta}\ln{S(0)} = S(e) - \frac{\delta}{\beta}\ln{S(e)}

of

 N - S(e) = \frac{\delta}{\beta}\ln{\frac{S(0)}{S(e)}}

of

 \frac{\beta}{\delta} = \frac{\ln{\frac{S(0)}{S(e)}}}{N -S(e)}

en dit brengt ons bij de te bewijzen stelling:

 R_0 = \frac{\beta N}{\delta} = \frac{\ln{\frac{S(0)}{S(e)}}}{1-s_e}