Reproductiegetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Besmettingsgetal van een aantal besmettelijk  ziekten
Ziekte Manier van besmetting R 0
Mazelen In de lucht 12–18
Polio Fecaal-orale route 5-7
Rodehond Druppel in de lucht 5-7
Bof Druppel in de lucht 4–7
Kinkhoest Druppel in de lucht 5,5
Pokken Druppel in de lucht 3,5–6
Aids Lichaamsvloeistoffen 2–5
SARS Druppel in de lucht 2–5
Difterie Speeksel 1,7–4,3
COVID-19 Druppel in de lucht 1,4–3,9
Influenza
(Pandemische stam uit 1918 )
Druppel in de lucht 1,4-2,8
Ebola
(Ebola-uitbraak in 2014 )
Lichaamvloeistoffen 1,5-2,5
Influenza

(Pandemische stam uit 2009)

Druppel in de lucht 1,4–1,6
Influenza

(seizoensgebonden soorten)

Druppel in de lucht 0,9-2,1
MERS Druppel in de lucht 0,3–0,8

Het basaal reproductiegetal of besmettingsgetal (R0) van een infectieziekte is het gemiddeld aantal secundaire besmettingen die veroorzaakt worden door een primair geval in een bevolking zonder immuniteit en in afwezigheid van profylactische maatregelen, zoals bijvoorbeeld vaccinatie. Een besmettingsgetal van 2 betekent dat een drager van de infectie gemiddeld 2 andere mensen zal besmetten.

Het concept van het reproductiegetal werd ontwikkeld in het werk van Alfred Lotka (1880-1949), Ronald Ross (1857-1932) en George MacDonald (1903-1967) en is belangrijk in de epidemiologie.

Wiskundige beschrijving[bewerken | brontekst bewerken]

De waarde van R0 kan bepaald worden op basis van een aantal demografische gegevens en gegevens die specifiek gelden voor de infectie:

hierbij is

de besmettingskans per contact
het gemiddeld aantal contacten per tijdseenheid
δ de genezingssnelheid
D de infectieduur (δ = 1/D)
en een dimensieloos getal.

Hoe groter R0 des te sneller neemt het aantal geïnfecteerde mensen toe, en des te moeilijker zal de infectie onder controle te krijgen zijn. De proportie van de populatie die gevaccineerd zal moeten worden om de toestand van groepsimmuniteit te verkrijgen (en zo de verspreiding te stoppen) wordt gegeven door: 1-(1/R0) (zie afleiding hieronder).

Effectief reproductiegetal[bewerken | brontekst bewerken]

Het effectief reproductiegetal Reff ligt lager omdat men er bijvoorbeeld rekening mee houdt dat een gedeelte van de bevolking immuun is:

hierbij is:

S de susceptibiliteit, het aantal voor de ziekte vatbare mensen.

Als Reff kleiner is dan 1 zal de infectie verdwijnen uit de populatie, maar als Reff groter is dan 1 dan kan ze uitgroeien tot een epidemie. Als Reff gelijk is aan 1 blijft het aantal besmette personen in theorie gelijk.

Oorsprong[bewerken | brontekst bewerken]

Oorspronkelijk is de term reproductiegetal afkomstig uit de demografie: Als R0 kleiner is dan 1 zal de bevolking krimpen, maar als R0 groter is dan 1 zal ze aangroeien.

Afleiding minimale vaccinatiegraad[bewerken | brontekst bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie SIR-model (epidemiologie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor de minimale vaccinatiegraad die nodig is gelden volgende vergelijkingen:

hierbij is:

I het aantal geïnfecteerde personen R (recovered) het aantal herstelde personen; niet te verwarren met R0 en Reff

In dit model zal I enkel toenemen als de tweede vergelijking groter is dan 0. (De wiskundig afgeleide van de curve heeft een positieve helling of richtingscoëfficiënt.) We veronderstellen een constante infectiekracht: λ(t)=λ, dan volgt:

of ,

want de infectiekracht λ is gelijk aan de transmissiecoëfficiënt β maal I. Als I niet gelijk is aan nul, betekent dat:

of of .

Door beide leden te delen door N:

.

Aangezien R0 = βS0/δ = βS0D (N ≈S(0)):

.

Dit betekent dus dat de proportie niet-gevaccineerden s* in de populatie niet hoger mag zijn dan het omgekeerde van het basisreproductiegetal van die ziekte (in die situatie); anders zal een epidemie optreden. Zo kan de minimale vaccinatiegraad pc aangeduid worden:

of

Als we nu ook nog meerekenen dat de vaccinatie-efficiëntie niet altijd 100% is, dan is de te vacineren proportie pv:

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

  • R0=2 VE=0.80, dan is pc=0.625; of 62,5% van de bevolking moet gevaccineerd worden.
  • R0=3 VE=0.90, dan is pc=0.74

Volgende-generatiematrix[bewerken | brontekst bewerken]

Als er met verschillende leeftijdsklassen gerekend wordt, bestaat de next generation matrix uit alle R0 voor alle combinaties van leeftijdsklassen:

Voor vier leeftijdsklassen ziet hij er zo uit:

Deze matrix kan berekend worden door vermenigvuldiging van de WAIFW-matrix met ND.

Berekening R0 uit gegevens voor en na een epidemie[bewerken | brontekst bewerken]

Afleiding[bewerken | brontekst bewerken]

De bevolkingsgroepen in het SIR-model voldoen aan deze vergelijkingen:

Delen we beiden door elkaar en integreren we, dan bekomen we:

Integreren we, dan bekomen we:

of

Dus op twee verschillende tijdstippen (t=0 en t=e; respectievelijk voor en na de epidemie):

Aangezien I(0)=I(e)=0, en S(0)=N, kunnen we schrijven:

of

of

en dit brengt ons bij de te bewijzen stelling:

Externe link[bewerken | brontekst bewerken]