Residu (functietheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Residu (complexe analyse))
Ga naar: navigatie, zoeken

In de functietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het residu, dat bij een singulariteit z0 hoort, een zeker complex getal. z0 wordt door de gekozen functie f bepaald. f wordt op een bepaald domein D gekozen, waarbinnen z0 ligt. f is op D dus een meromorfe functie. Het residu van z0 is gelijk aan de contourintegraal van f, die langs het gekozen pad om z0 ligt. Binnen een pad mogen meer dan één singulariteiten liggen. De residuen binnen het pad kunnen worden berekend en maken, eenmaal bekend, met behulp van de residustelling de berekening van een reële, bepaalde, maar oneigenlijke integraal mogelijk.

Definities[bewerken]

Een holomorfe functie is een functie, die in het complexe vlak kan worden gedifferentieerd. Een dergelijke functie heet ook analytisch.

Het residu van een meromorfe functie f op een geïsoleerde singulariteit a, vaak aangeduid als

is de unieke waarde zodanig dat

een analytische primitieve functie heeft in een cirkelring

.

Laat z0 een geïsoleerde singulariteit zijn van f, en C een kleine cirkel met de klok mee georiënteerd met middelpunt z0 zodanig dat f differentieerbaar is op C en het inwendige van C, met uitzondering van z0 zelf. Dan:

dus is

.

Berekening[bewerken]

Residuen kunnen uitgaande van de Laurentreeks van een functie worden berekend. Het residu is gelijk aan de coëfficiënt van de macht -1 in de reeksontwikkeling van de genomen variabele. Laat de Laurentontwikkeling van f in het punt z0 zijn, dan is a-1 het residu van f op z0, genoteerd als: .

  • en voor n-voudige singulariteiten

Wanneer er meer singulariteiten binnen een gekozen pad liggen, kunnen zij bij elkaar worden opgeteld. Laat U een open verzameling, en γ een gesloten ketting in U zijn. Laat f analytisch op U zijn op een eindig aantal punten na. Laat mj het aantal windingen zijn van γ ten opzichte van het j-de punt. Dan:

Rekenregels[bewerken]

Regel 1[bewerken]

Stel heeft een singulariteit in en is holomorf op dan:

Voorbeeld[bewerken]

Vind het residu van . Kies dan twee functies g en h: en . Hier volgt dan uit: .

Regel 2[bewerken]

Stel , maar . Dan heeft een orde 1 pool in en heeft een residu van gelijk .

Voorbeeld[bewerken]

Vind het residu van in . Dan volgt daaruit dat het residu is.