Residu (complexe analyse)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is het residu een complex getal, dat gelijk is aan de contourintegraal van een meromorfe functie, die langs een pad een van haar singulariteiten omsluit. Meer in het algemeen kunnen residuen worden berekend voor elke functie

,

die holomorf is, behalve op de discrete punten {ak}, zelfs als sommige daarvan een essentiële singulariteit zijn. Residuen kunnen vrij gemakkelijk worden berekend, en staan, eenmaal bekend, de berekening van de algemene contourintegralen met behulp van de residustelling toe.

Definitie[bewerken]

Het residu van een meromorfe functie op een geïsoleerde singulariteit , vaak aangeduid als

is de unieke waarde zodanig dat

een analytische primitieve functie heeft in een cirkelring

.

Als alternatief kunnen residuen worden berekend door de Laurent-reeks uitbreidingen te vinden, en zijn soms gedefinieerd in termen van hen.

Residu[bewerken]

Laat de Laurentontwikkeling zijn in het punt , dan noemen we het residu van op en noteren dat als: .

Stelling[bewerken]

Laat een geïsoleerde singulariteit zijn van f, en C een kleine cirkel met de klok mee georiënteerd met middelpunt zodanig dat f differentieerbaar is op C en het inwendige van C, met uitzondering van het punt zelf. Dan:

Residu formule[bewerken]

Laat U een open verzameling, en γ een gesloten ketting in U zijn. Laat f analytisch zijn op U op een eindig aantal punten na (). Laat het aantal windingen zijn van γ ten opzichte van het j-de punt. Dan:

Rekenregels voor residuen[bewerken]

Regel 1[bewerken]

Stel heeft een singulariteit in en is holomorf op dan:

Voorbeeld[bewerken]

Vind het residu van . Kies dan twee functies g en h: en . Hier volgt dan uit: .

Regel 2[bewerken]

Stel , maar . Dan heeft een orde 1 pool in en heeft een residu van gelijk .

Voorbeeld[bewerken]

Vind het residu van in . Dan volgt daaruit dat het residu is.