Residu (functietheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de functietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het residu dat bij een singulariteit van een meromorfe functie hoort, een zeker complex getal dat direct verband houdt met een contourintegraal van de functie om de singulariteit. Met behulp van de residustelling kunnen resduen gebruikt worden voor de berekening van reële, bepaalde, maar oneigenlijke in†egralen.

Definitie[bewerken]

Het residu van een meromorfe functie f in een geïsoleerde singulariteit , vaak aangeduid als

is het unieke complexe getal zodanig dat

een analytische primitieve functie heeft in een cirkelring

.

Laat z0 een geïsoleerde singulariteit zijn van f, en C een kleine cirkel met de klok mee georiënteerd met middelpunt z0 zodanig dat f differentieerbaar is op C en het inwendige van C, met uitzondering van z0 zelf. Dan is:

dus is

.

Berekening[bewerken]

Residuen kunnen uitgaande van de Laurentreeks van een functie worden berekend. Het residu is gelijk aan de coëfficiënt van de tem met macht −1 in de reeksontwikkeling van de genomen variabele. Laat de Laurentontwikkeling van f in het punt z0 zijn, dan is a−1 het residu van f op z0, genoteerd als: .

  • en voor n-voudige singulariteiten

Als er meerdere singulariteiten binnen een gesloten pad liggen, worden de residuen bij elkaar opgeteld. Ook wordt een residu zo vaak meegeteld als het aantal keren dat het pad om de singulariteit heen draait.

Rekenregels[bewerken]

Regel 1[bewerken]

Stel heeft een singulariteit in en is holomorf in , dan is:

Voorbeeld

De functie

kan geschreven worden als het product van de functies

en

.

Hieruit volgt, dat in het punt geldt:

.

Regel 2[bewerken]

Stel , maar . Dan heeft in een pool van de orde 1, en is het residu in gelijk aan .

Voorbeeld

De functie heeft in het punt een pool van de orde 1. Het residu in dat punt is dus .