Ricci-tensor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De ricci-tensor is een wiskundig object uit de differentiaalmeetkunde, genoemd naar Gregorio Ricci-Curbastro. Het is een object dat uitdrukt in welke mate een ruimte verschilt van de gewone euclidische ruimte. Er kan ook een meetkundige interpretatie worden gegeven aan de ricci-tensor, namelijk de verstoring van een eenheidsvolume in de gegeven ruimte.

Formele definitie[bewerken]

Net als de metrische tensor is de ricci-tensor een symmetrische bilineaire vorm op de raakruimte van een pseudo-riemann-variëteit[1] De ricci-tensor is het spoor van de riemann-tensor.

Meer precies, stel dat (M,g) een n-dimensionale pseudo-riemann-variëteit is. Noteer met T_pM de raakbundel van M ter hoogte van p. Voor elk paar vectoren

\xi, \eta\in T_pM

in de rakende ruimte, wordt de ricci-tensor \mathrm{Ric} (\xi , \eta ) gedefinieerd als het spoor van de lineaire afbeelding van

T_pM\to T_pM \!

gegeven door

\zeta \mapsto R(\zeta,\eta) \xi

met R de riemann-tensor.

Concreter, gegeven een bepaald coördinatensysteem, kunnen we dit in componenten uitschrijven als

\operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i \otimes dx^j.

De coëfficiënten  R_{ij} zijn dan (in einsteinnotatie) gegeven door

R_{ij} = {R^k}_{ikj}.

De ricci-tensor is dus het spoor van de riemann-tensor. In termen van de christoffelsymbolen wordt de ricci-tensor gegeven door:


R_{\sigma\nu} = {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} =
{\Gamma^\rho_{\nu\sigma}}_{,\rho} - \Gamma^\rho_{\rho\sigma ,\nu}
+ \Gamma^\rho_{\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
- \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\sigma}

waarbij differentiëren met een komma wordt genoteerd: de toevoeging

,\rho

is een verkorte notatie voor toepassing van \frac{\partial}{\partial x^\rho} op de betreffende grootheid.

De ricci-tensor heeft verder de eigenschap symmetrisch te zijn:

R_{ij}=R_{ji} .\!

De dimensie van R_{\mu \nu} is één gedeeld door de dimensie van de \mu'de coördinaat, en gedeeld door de dimensie van de \nu'de coördinaat.

Een variëteit met  R_{ij}=0 noemen we ook wel ricci-vlak. In relativiteitstheorie zijn ricci-vlakke ruimtes de vacuüm-oplossingen van de ruimtetijd.

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. "Pseudo-" is algemener, dus een en ander geldt ook zonder dit voorvoegsel.