Riemann-Siegel-thèta-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt de Riemann–Siegel-thèta-functie in termen van de gammafunctie gedefinieerd als

\theta(t) = \arg \left(
\Gamma\left(\frac{2it+1}{4}\right)
\right) 
- \frac{\log \pi}{2} t

voor reële waarden van t. Hier wordt het argument zodanig gekozen dat een continue functie wordt verkregen en dat \theta(0)=0 houdt, dat wil zeggen op dezelfde wijze als de principale tak van de log gammafunctie wordt gedefinieerd.

De Riemann-Siegel-thèta-functie heeft een asymptotische expansie

\theta(t) \sim \frac{t}{2}\log \frac{t}{2\pi} - \frac{t}{2} - \frac{\pi}{8}+\frac{1}{48t}+ \frac{7}{5760t^3}+\cdots

die niet convergent, maar waarvan de eerste paar termen een goede benadering geven voor t \gg 1.

Haar Taylor-reeks die op 0 convergeert voor |t| < 1/2 is

\theta(t) = -\frac{t}{2} \log \pi + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \psi^{(2k)}\left(\frac{1}{4}\right) }{(2k+1)!} \left(\frac{t}{2}\right)^{2k+1}

waar \psi^{(2k)} de polygammafunctie van orde 2k voorstelt.

De Riemann-Siegel-thèta-functie is van belang bij het ​​bestuderen van de Riemann-zèta-functie, omdat deze thèta-functie de Riemann-zèta-functie zodanig kan roteren dat het de geheel reëel-gewaardeerde Z-functie op de kritieke lijn s = 1/2 + i t wordt.